§ 38. Расширение признаков нормальности и квазинормальности.

Мы можем еще несколько расширить признаки, позволяющие определить, что семейство нормально или квазинормально.

Рассмотрим семейство функций не принимающих значений а и которые изменяются с рассматриваемой функцией, и допустим, что для всех функций семейства имеем:

где и — заданные числа. Это поззоляет сказать, что на сфере Римана три исключительные значения остаются на конечных расстояниях друг от друга. Я утверждаю, что семейство нормально. В самом деле, функции

допускают исключительные значения нуль и единица. Если последовательность функций сходится равномерно к голоморфной функции или к бесконечности, то то же самое будет справедливо для последовательности соответствующих функций:

(в силу условий, наложенных на или для подпоследовательности, выбранной из Справедливо также обратное. Итак, два семейства одновременно нормальны или квазинормальны.

Наконец можно получить квазинормальное семейство порядка рассматривая функции, принимающие какое угодно число раз значения нуль и единица, но таким образом, чтобы корни уравнения имели бы кратность корня, делящуюся на кроме исключений, и корни уравнения имели бы кратность, делящуюся на кроме исключений, и выполнялось бы условие

Здесь приложимы рассуждения § 36, Это семейство становится нормальным, если фиксировать значения функций и их производных в достаточном числе точек, лишь бы только при например, уравнение никогда не имело бы более корней, кратных или нет.