ГЛАВА VIII. ИТЕРАЦИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 101. Последующие и предшествующие итерации.

Одно из наиболее важных приложений теорий нормальных семейств имеет место в теории итерации аналитических функций и решении функциональных уравнений, связанных с ней. Началом всех этих вопросов являются фундаментальные мемуары Кёнигса (Koenigs) появившиеся от 1883 до 1885 гг. Кёнигс получил аналитический элемент, определяющий решение функционального уравнения в окрестности некоторой точки, через изучение предельных значений последовательности функций, получающихся итерацией. Эта работа была точкой отправления различных исследований, которыми мы обязаны в частности Греви (Grеvy) и Ло (Leau). В этих работах вообще проведено только локальное изучение решения.

Нужно было так же, как для решений диференциальных уравнений, перейти от локального изучения к изучению решения во всей области существования. Именно к этим результатам примыкают замечательные работы Фату (Fatou), и Жюлиа, которые показали всю ту пользу, которую можно извлечь из свойств нормальных семейств в этом вопросе. Важными результатами мы обязаны также Латте (Lattes)

Во всем дальнейшем мы ограничимся общим изучением итерации рациональных функций, чтобы дать первое понятие о богатстве и изяществе недавно полученных результатов; мы отсылаем к оригинальным мемуарам для более детального изучения итерации и связанного с ней разрешения функциональных уравнений.

Пусть рациональная дробь; заменив через мы получим новую дробь или называемую первой итерированной поступая также с получаем Так

получаем бесконечную последовательность рациональных функций:

в которой каждая есть первая итерация предыдущей; это есть последовательные итерированные Заметим, что имеем:

Если положим то будем иметь:

Точки получаются применением к последовательных степеней подстановок Эти точки называются последующими для точки точка непосредственно последующая. Обратно при заданном уравнение

имеет корни которые называются предшествующими ранга для точки Предшествующие ранга 1 корни уравнения

называются непосредственно предшествующими. Пусть к степень рациональной дроби:

являющейся отношением двух взаимно простых полиномов и степени к есть наивысшая из степеней этих полиномов или их общая степень. Мы будем предполагать в дальнейшем, что ибо свойства линейной подстановки хорошо известны. Допустим, например, что и вычислим

Очевидно, что и взаимно простые; степень есть а степень есть следовательно степень есть в точности Также степень есть в точности