СЕМЕЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ С ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

§ 32. Основной признак.

Используем функцию для того, чтобы найти новый признак, позволяющий определять, является ли семейство нормальным. Мы докажем следующее предложение:

Всякое семейство функций, голоморфных в области и не принимающих в ней значений нормально в этой области.

Когда функция в данной области не принимает значения а, говорят, что а есть исключительное значение в этой области.

Всегда можно предполагать, что два исключительные значения суть числа нуль и единица, потому что, заменяя через приходим к семейству функций имеющих нуль и единицу исключительными Значениями; так как не нуль, то семейства одновременно нормальные семейства.

Возьмем (фиг. 12) область строго внутри достаточно доказать, что семейство нормально в кроме того, можно предполагать, что односвязна, так как достаточно даже доказать, что семейство нормально в каждой точке из т. е. в круговых областях. Обозначим еще через односвязную область, содержащую строго внутри и содержащуюся внутри

Пусть - функция семейства: когда перемещается в переменное описывает некоторую область, которая может перекрывать самое себя, но если описывает в замкнутую кривую, то описывает замкнутую кривую, не окружающую ни нуль, ни единицу: в самом деле, первую можно непрерывным преобразованием стянуть в точку, не выходя из односвязной области тогда вторая кривая должна стянуться в точку, не натолкнувшись ни на нуль, ни на единицу.

Положим

и фиксируем значение X условием, что значение соответствующее определенной точке внутри принадлежит основному

четырехугольнику Функция однозначна в области потому что не описывает кривой, окружающей нуль или единицу; она голоморфна в потому что она голоморфна в каждой точке. Точка никогда не совпадает ни с одной из вершин сети треугольников для функции она не попадает также в точку окружности потому что голоморфна в точках области и то же самое должно быть для тогда как не может обойти вокруг Итак, имеем

Пусть дана бесконечная последовательность функций ей соответствует бесконечная последовательность функций которые в по модулю меньше единицы.

Фиг. 12.

Из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность

сходящуюся в равномерно к функции голоморфной в Я утверждаю, что соответствующая последовательность

сходится в также равномерно.

Так как функции никогда не принимают значений которые соответствуют вершинам сети, то функция может принять одно из этих значений только, если сведется к постоянному, равному этому значению. Так как, кроме того, значения заключены в то это значение могло бы соответствовать только точкам или Предположим сначала, что имеют пределом соответствующее точке, внутренней для Значения соответствующие заполняют некоторую область не содержащую ни одной вершины сети и ни одной точки окружности потому что сходимость равномерна во всякой точке замкнутой области и функция может принимать значение соответствующее точке только, если функции принимают эти значения, а это невозможно. Расстояние от границы отлично от нуля; пусть область, заключенная полностью внутри и содержащая внутри область (А); можно взять настолько большим.

чтобы было всегда в Когда заключено в функция обратная равномерно непрерывна и неравенство

влечет неравенство:

как бы мало ни было выбрано число Положим

F(z) голоморфна в возьмем настолько большим, чтобы было в и чтобы иметь

каково бы ни было Так как то имеем:

Последовательность сходится равномерно к

Предположим теперь, что точки имеют пределом, например, точку А. Для достаточно большого и сколь угодно малого будем иметь:

где аффикс потому что сходится равномерно к постоянной Данному соответствует число такое, что если

то

следовательно, если достаточно велико, то модуль меньше , каково бы ни было Последовательность сходится равномерно к нулю. Если приводится к точке В или к одной из точек С или то также находим, что последовательность сходится равномерно к единице к бесконечности. Предложение доказано.