§ 52. Теорема Каратеодори.

Возможно отобразить конформно на круг область, ограниченную конечным числом аналитических дуг: например прямолинейным многоугольником. Вот общий результат, полученный Каратеодори:

Всякая односзязная область может быть отображена на круг, если граница ее не сводится к одной точке.

Сначала предположим, что область ограничена; пусть круг в плоскости с центром в и радиусом, равным единице. Зададимся элементом прикосновения соответствующим центру круга и оси Можно предположить, что О есть точка и направление есть направление оси

Покроем плоскость сетью квадратов со сторонами, равными единице, причем единица выбрана настолько малой, чтобы квадрат который содержит О, был внутри Рассмотрим все квадраты, заключенные строго внутри, которые могут быть достигнуты, отправляясь от помощью цепи из квадратов, касающихся по одной стороне и лежащих строго внутри: они образуют односвязную область

Возьмем теперь сеть квадратов со сторонами сохраняя линии предыдущей сети. Можно определить тем же способом область содержащую все точки Из квадратов со сторонами мы получаем таким же образом область Бесконечная последовательность областей:

такова, что

1) каждая область лежит строго внутри содержит все точки

3) всякая точка внутренняя будет внутри областей начиная с некоторого номера.

В самом деле, пусть А внутренняя точка (О); я могу ее соединить с точкой О линией расположенной строго внутри Назовем отличное от нуля расстояние этой линии от границы области и рассмотрим область образованную из квадратов, диагональ которых меньше 8. Все квадраты, пересеченные а также те, которые имеют только одну вершину на будут строго внутри можно образовать из этих квадратов цепочку, соединяющую точку О с точкой А: итак, А лежит в следовательно, в следующих областях.

Граница прямолинейный полигон; следовательно, существует функция,

отображающая на круг так, что элемент прикосновения соответствует также существует функция

отображающая на при тех же условиях.

Функции

голоморфны в они ограничены, так как значения находятся внутри каково бы ни было следовательно, они образуют семейство, нормальное в

Уравнения, определяющие соответствие, можно разрешить относительно и получить

где голоморфна в Функции

голоморфны в они, очевидно, ограничены в этой области, потому что соответствующие значения "Суть аффиксы точек внутри они образуют тоже нормальное семейство в Из последовательности

я могу выбрать подпоследовательность

которая сходится равномерно в из последовательности

я могу выбрать подпоследовательность

которая сходится равномерно в В силу теоремы Стильтьеса эта последняя последовательность сходится равномерно во всякой области Пусть. предельная функция последовательности предел функция последовательности функция голоморфна внутри Кроме того, однолистна в потому что если бы в двух точках внутри имели:

то для достаточно большого функция принимала бы значение а в двух точках близких и не была бы однолистной. Функция тоже однолистна в Также можно убедиться, что не обращаются в нуль.

Я утверждаю, что функция дает конформное отображение на Прежде всего точка О соответствует точке , так как всегда нуль. С другой стороны, производные все действат льны и имеют пределом действительное число итак, данные элементы прикосновения соответствуют.

Пусть теперь точка, внутренняя положим:

Все точки внутри они стремятся к точке которая лежит либо внутри, либо на границе области Вторая гипотеза отпадает. В самом деле, имеем:

Пусть точка границы; функция не есть тождественная постоянная потому что

Так как в окрестности точки внутренней для сходимость равномерна, то уравнения

начиная с некоторого номера, имеют корень в окрестности , т. е. за ключенный в небольшом круге с центром в следовательно, находя щейся внутри Но это невозможно, потому что находится на границе области а все значения внутри Итак, всякой точке, внутренней соответствует точка, внутренняя Эта точка единственная, так как однозначна.

Обратно, пусть точка внутри (3); она лежит внутри начиная с некоторого значения Положим:

точки стремятся к точке Эта точка не может быть на границе в самом деле, в противном случае, уравнения

не могут иметь бесконечное множество корней в небольшом круге с центром потому что для достаточно большого область содержит этот круг внутри и, начиная с этого значения значения, которые принимает в этом круге, суть аффиксы, точек внутри Мы доказали, что при преобразовании

точке внутри соответствует единственная точка внутри и что при преобразовании точке внутри соответствует единственная

точка внутри Кроме того, функции обратны одна другой. Действительно,

точки же

имеют пределом точку

внутри Пусть — область внутри содержащая функции равностепенно непрерывны в и следовательно, для достаточно большого имеем:

если произвольное фиксированное число.

С другой стороны, для достаточно большого также:

откуда

Итак, имеет пределом

и, следовательно,

Таким образом возможность конформного отображения, если область ограничена, доказана.

Изучим теперь случай, когда область не ограничена. Предположим, что существуют точки внешние области; сделав инвзрсию, полюс которой возьмем вне приходим к случаю ограниченной области. Если точек внешних не существует, то можно, сделав в случае надобности инверсию, полюс которой в точке границы области предполагать, что бесконечно удаленная точка есть точка границы. Допустим, что существует другая точка границы: тогда их существует бесконечное множество. Пусть аффиксы двух из них. Повторим предыдущее рассуждение, условившись для образования области брать только квадраты, лежащие внутри круга с центром О и радиусом Я утверждаю, что односвязны; в противном случае имеют дыру образованную квадратами, внутри которых находятся точки границы области Контур этой дыры есть замкнутая линия, внутренняя которая не может быть стянута в точку, не встречая точки границы, потому что она имеет внутри точки границы, а другие точки Границы, в частности бесконечно удаленная точка, находятся вне. Следовательно, не будет односвязной.

Итак, области односвязны; функции должны образовать нормальное семейство, потому что они допускают два исключительные значения Что касается функций то они всегда ограничены. Рассуждение может быть закончено без изменений Итак, единственный

тип области выпал из нашего доказательства: это тот, который получается из плоскости выбрасыванием единственной точки, например бесконечно удаленной точки. Такая область не может быть, очевидно, отображена на круг в плоскости потому что функция была бы ограниченная целая функция, т. е. постоянное.