§ 16. Теорема Витали.

Требования, фигурировавшие в этой формулировке, можно ослабить, не нарушая верности результата. Чтобы аналитическая функция была тождественно равна нулю, достаточно, чтобы она была равна нулю в бесконечном множестве точек, имеющем хотя бы одну предельную точку внутри области, где она голоморфна. Чтобы утверждать равенство нулю функции достаточно предположить, что последовательность сходится в бесконечном множестве точек, имеющем хотя бы одну предельную точку внутри мы будем называть такое множество точек множеством полностью внутренним к области Тогда можно выбрать содержащую и функция голоморфная в и обращающаяся в нуль в этих точках, будет нулем в Сходимости последовательности в каждой точке множества, расположенного полностью внутри достаточно, чтобы утверждать равномерную сходимость внутри Так получаем теорему Витали.

Если последовательность функций, голоморфных и ограниченных в своей совокупности в области сходится на множестве точек, расположенном полностью внутри то последовательность сходится равномерно всюду внутри этой области.

Оба доказательства существования равномерно сходящейся подпоследовательности, извлеченной из данной последовательности, данные в § 12 и 15, представляют интерес. Первое, основанное на диагональном процессе, является более общим и не предполагает аналитичности функций, второе дает нам для аналитических функций нечто большее: теорему Стилтьеса и теорему Витали. Оно применимо и в более общих условиях, например для семейства функций квазианалитических.