СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ

§ 8. Теорема Вейерштрасса.

Мы будем заниматься вообще аналитическими функциями. Напомним сначала некоторые свойства равномерно сходящихся последовательностей аналитических функций.

Известно, что бесконечная последовательность:

называется сходящейся в точке если ряд с общим членом:

сходится. Тогда предел для есть сумма ряда:

Говорят, что последовательность сходится в данной области равномерно, если ряд сходится в данной области равномерно. Итак, два понятия последовательность и ряд немедленно сводятся одно к другому.

Теорема Вейерштрасса. Последовательность голоморфных функций, равномерно сходящаяся в области имеет пределом функцию, голоморфную в этой области. Последовательность производных порядка а сходится равномерно к производной порядка а от предельной функции.

Докажем, что предельная функция голоморфна во всякой области, заключенной полностью внутри области Пусть есть такая область, есть область, ограниченная одной или несколькими спрямляемыми кривыми общей длины и такая, что заключена строго внутри внутри и пусть — наименьшее расстояние точек от точек

Если есть точка точка то

и

Пусть есть функция, голоморфная в области такая, что

тогда:

откуда

Если достаточно велико, то на контуре

следовательно, внутри

и

так как — больше или равно 8.

Итак, функция предельная для совпадает с голоморфной функцией имеет пределом т. е.

В частности, отсюда следует, что коэфициенты ряда Тейлора для функции стремятся к соответствующим коэфициентам ряда для

Доказательство дает нам несколько больше, чем было формулировано вначале. Если рассматривать последовательность функций, голоморфных в замкнутой области, которая ограничена одной или несколькими спрямляемыми кривыми, то достаточно знать, что последовательность сходится равномерно на границе, чтобы быть уверенным, что сходимость будет равномерной внутри области.