§ 136. О некоторых нормальных семействах.

Займемся теперь сложными семействами функций, получающимися при задании некоторых коэфициентов Рассмотрим сначала сложное семейство функций голоморфных в круге принимающих в центре значения и таких» что в этом круге имеем:

Это сложное семейство не всегда будет нормальным: возьмем, на пример,

произвольное целое положительное число; семейство и семейств не будут нормальные каком угодно круге Допустим, чти семейства, образованные двумя из трех функций, нормальны. Пусть, например, семейство и семейство А будут оба нормальны. Семейство тогда нормально. Действительно, рассмотрим бесконечную последов тельность функций

которым соответствуют функции:

Положим:

функции голоморфные для не принимают в этом круге ни значения, равного нулю, ни значения, равного единице. Кроме того, имеем:

Эти функции образуют нормальное и ограниченное семейство, и из последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся равномерно к голоморфному пределу пусть эта подпоследовательность будет:

Так как семейства нормальны, то можно выбрать из последовательности последовательность сходящуюся равномерно к пределу и из последовательности можно выбрать подпоследовательность сходящуюся к пределу тогда последовательности:

сходятся соответственно к пределам и последовательность

сводится равномерно к пределу

Итак, семейство образует нормальное семейство. Это семейство ограничено потому, что эти функции принимают в начале фиксированное значение во всяком круге радиуса концентрическом с кругом модуль не превосходит фиксированного предела.

Можно получить тот же самый результат другим путем, который позволит нам иметь некоторые уточнения, относящиеся к этому пределу. Функции образуют семейства, нормальные и ограниченные внутри Следовательно, имеем для

где числа и зависят от указанных аргументов и от свойств, которые делают эти семейства нормальными. Также для функций образующих нормальное и ограниченное семейство, и для имеем:

следовательно,

Игак, функции имеют модуль, ограниченный внутри числом, которое зависит только от и от свойств, делающих семейства нормальными.

Предыдущие результаты остаются точными, если отбросить гипотезу, что не имеет нулей в лишь бы только не было нулем. Другими словами, если с каждой функцией можно связать функции такие, что не имеют нулей в и если не нуль, то семейство будет нормальным, когда семейства нормальны.

Действительно, семейство функций нормальное (С); ни одна из предельных функций не будет тождественным нулем, потому что не нуль. Итак, в круге определенном условием эти функции имеют конечное число нулей При этих условиях семейство функций:

образовано из функций, голоморфных в не принимающих никогда значения единица и принимающих только конечное число раз значение нуль. Это семейство нормально. Кроме того, ни одна предельная функция не равна тождественно нулю. Рассмотрим тогда бесконечную

последовательность функций мы можем выбрать последовательность с индексами такую, что последовательности и сходятся в равномерно к Разность имеет только конечное число нулей в (С); проведем внутри концентрический круг окружность которого не содержит ни одного из этих нулей. На этой окружности последовательность

сходится равномерно к пределу

следовательно, та же последовательность сходится внутри к голоморфной функции

Семейство функций в этом случае снова нормально и ограничено. Рассмотрим несколько частных гипотез. Допустим сперва, что функции имеют в ограниченный модуль:

Эти функции образуют нормальные семейства: следовательно, функции образуют семейство, нормальное и ограниченное. В круге модуль ограничен числом, которое может зависеть от Но не может входить, ибо, заменив на получим функции, обладающие в круге теми же самыми свойствами. С другой стороны, заменяя через видим, что модуль ограничен числом, зависящим от и так то имеем:

Итак:

Пусть даны три функции:

голоморфные в круге Допустим, что

и что уравнения

не имеют корней в круге Тогда в круге

имеем:

Если предположить, что функция есть тождественный нуль, то приходим к теореме Валирона (Valiron).

Получаем аналогичную теорему, предполагая, что функции не принимают в круге более раз значение, равное нулю, более раз значение, равное единице, и что фиксированы значения коэфициентов:

при

Вообще предположим, что функции образуют нормальные семейства и что уравнения:

имеют соответственно не более или корней в круге . В круге функции имеют не более нулей, предполагая всегда, что о — со Функции

мероморфны в этом круге: они не принимают более раз значение, равное единице, более раз значение, равное нулю, и более раз значение, равное бесконечности. Следовательно, они образуют квазинормальное семейство, порядок которого равен среднему из чисел последовательности Если этот порядок всегда меньше или равен Следовательно, фиксируя первых коэфициентов разложении получим, что все предельные функции будут мероморфные функции, отличные от тождественной бесконечности. Эти коэфициенты будут фиксированы, если фиксировать разности:

Повторяя предыдущие рассуждения и употребляя последовательность целых чисел таких, чтобы последовательности сходились к функциям и из которых первые две голоморфны, а третья мероморфна в круге докажем, что последовательность сходится равномерно в В самом деле, достаточно выбрать круг окружность которого не содержит ни одного нуля функции и ни одной иррегулярной точки квази-нормальной последовательности Последовательность сходится равномерно на окружности следом вательно, также и внутри; так как сколь угодно близка к также сколь угодно близка к то семейство функций нормально и ограничено в

Например, если то имеем:

когда