§ 13. Случай открытой области.
Из всякой последовательности функций, принадлежащих семейству, мы выбирали для каждой полностью внутренней области 
некоторую подпоследовательность, сходящуюся равномерно в 
Остается показать, что можно найти подпоследовательность одну и ту же для всех 
которая будет сходиться равномерно во всякой области 
Используем здесь еще раз диагональный процесс.
Рассмотрим бесконечную последовательность контуров: 
таких, что 
содержится полностью внутри 
все контуры заключены полностью внутри 
наконец, что все контуры стремятся к контуру 
ограничивающему область 
Более, точно: предполагаем, что каждая точка, внутренняя для 
будет внутренней для области, определенной некоторым контуром 
и следовательно, и для всех областей, определенных контурами с индексами, большими 
Эти условия достаточны для того, чтобы всякая данная область 
заключенная строго внутри 
была заключена полностью, внутри некоторого контура 
Итак, достаточно доказать, что можно найти последовательность функций, равномерно сходящуюся в каждой области 
ограниченной контуром 
Из последовательности функций семейства 
взятой произвольно, я извлекаю сначала последовательность:
которая сходится равномерно в 
Из этой последовательности я извлекаю вторую последовательность (52), которая сходится равномерно в 
можно предполагать, что она начинается с 
эта последовательность будет:
Повторяя рассуждения § 7, получаем последовательность:
содержащуюся в каждой из последовательностей 
следовательно, равномерно сходящуюся в каждой замкнутой области; 
Итак, теорема, формулированная в § 10, полностью доказана.
достаточно, чтобы они были ограничены во всякой внутренней области. Будем говорить в этом случае, что они ограничены в своей совокупности внутри 
верхний предел их модулей может бесконечно возрастать с приближением к границе области 
Когда последовательность функций сходится равномерно во всякой области 
внутренней для 
мы будем говорить, что последовательность сходится равномерно внутри 
