СПЕЦИАЛЬНЫЕ СЛОЖНЫЕ СЕМЕЙСТВА

§ 133. Система трех голоморфных функций, никогда не равных.

Рассмотрим две функции и голоморфные в некоторой области. Если

эти функции допускают две исключительные различные комбинации:

то мы можем заменить функции функциями которые того же класса. Если функции допускают третью исключительную комбинацию, то выводим для исключительную комбинацию:

и так как можно заменить через через то мы получим окончательно систему функций допускающих исключительные комбинации:

они различны, если В этом случае функции не могуг быть целыми функциями. Для каждой пары функций и существует круг с центром в начале такой, что вне этого круга либо одна из функций и перестает быть голоморфной, либо одна из функций имеет

Если есть нуль, то три комбинации не будут различны, но мы видели, что в этом случае функции могут быть целыми, если отношение будет постоянным. В самом деле, взяв получаем систему, допускающую три исключительные комбинации

Если отношение не является постоянным, т. е. если

и

то существует число такое, что внутри круга радиуса большего либо одна из этих функций перестает быть голоморфной, либо одна из комбинаций перестает быть исключительной. Мы докажем, что зависит только от четырех коэфициентов

Ради большей симметрии определим три функции, голоморфные в окрестности

условиями

Ясно, что одна из трех функций может быть выбрана произвольно Комбинации

перепишутся тогда

Сказать, что эти комбинации исключительные, это значит сказать, что две из трех функций никогда не будут равны или что детерминант

не обращается в нуль в рассматриваемой области. Положим:

Детерминант не равен нулю по предположению. Что касается детерминанта то либо один из них отличен от нуля, либо все эти детерминанты суть нули. В последнем случае имеем тождество:

Тогда отношение равно постоянному, т. е. ангармоническое отношение постоянно.

Допустим, что не все они равны нулю, и рассмотрим первый детерминант который отличен от нуля. Рассмотрим сначала случай, когда

Функция

голоморфна и не принимает ни значения нуль, ни значения единица, пока разности не обращаются в нуль. Запишем:

Имеем:

Так как то выводим из этих уравнений:

Известно, что если, задав функцию

вычислить по формуле:

в которой обозначают три числа, сумма которых есть нуль, и таких, что

а есть площадь параллелограма периодов эллиптической функции определенной помощью полинома третьей степени, корни которого суть то это число таково, что внутри круга с центром в начале и радиусом, большим функция либо перестает быть голоморфной, либо принимает одно из значений нуль или единица Так как мы имеем здесь:

и можем положить ибо можно, не изменяя ни ни прибавить к трем функциям одно и то же постоянное, возьмем:

и будем иметь:

или еще

Если нуль, то то же самое будет для Обозначим через первый детерминант, отличный от нуля. Уравнения, которые определяют показывают, что суть нули и что дается уравнениями:

откуда выводим:

или

В этом случае радиус дается равенством

или

Итак, мы доказали следующее предложение: Пусть даны три функции:

голоморфные около начала. Внутри круга радиуса, большего

либо эти функции перестают быть голоморфными, либо из дошя функций принимают в некоторой точке одно и то же значение.

Если - нуль и если есть первый детерминант, отличный от нуля, нужно заменить предыдущее выражение через

В первом случае радиус зависит только от разностей — втором он зависит только от разностей

Эта теорема является обобщением теоремы Ландау в форме, данной Хартогсом (Hartogs), и сводится к теореме Ландау, если положить, что функции приводятся к постоянным нуль и единица.