§ 67. Функции с асимптотическими значениями.

Это доказательство теоремы Пикара, отличное от данного ранее, не распространяется на случай функции, рассматриваемой вблизи существенно особой точки. Чтобы распространить на мероморфные функции способ доказательства, которое основывается на рассмотрении семейства, нормального в кольце, нужно сделать дополнительные предположения.

Например, допустим, что функция обладает асимптотическим значением, т. е. что существует кривая называемая путем определения (chemin de determiition), оканчивающаяся в особой точке О, по которой функция стремится к определенному пределу конечному или бесконечному. Рассмотрим, как в § 42, окружности радиусов и фундаментальное кольцо ограниченное окружностями

Функция не вблизи О обладать свойством позволяющим утверждать, что семейство

нормально в

Если семейство нормально, то все предельные функции равны постоянной (0. В самом деле, пусть есть последовательность функций семейства, сходящаяся равномерно. Кривая пересекает окружности, средние для колец в точках, гомотетичные которым на окружности, средней для кольца обозначим через тогда и имеет пределом Пусть а — точка, предельная для точек предельная функция не может иметь в точке а, которая расположена на средней окружности, значения, отличного от Рассуждение может быть повторено для всех окружностей, промежуточных для предельная функция, мероморфная в кольце ограниченном окружностями включая границу, принимает значение в бесконечном множестве точек этого кольца; следовательно, она равна постоянной величине

Данная функция стремится равномерно к в окрестности точки О, которая тогда может быть только обыкновенной точкой или полюсом. В самом деле, допустим, что существует последовательность точек стремящаяся к О и число такое, что

Каждая из этих точек принадлежит кольцу подобному кольцу и ни одна последовательность, выбранная из соответствующей

последовательности не может в сходиться равномерно к постоянной Итак, получили противоречие.

Всякому свойству соответствует также для функций с асимптотическим значением теорема, аналогичная теореме Жюлиа: можно найти луч выходящий из О, такой, что во всяком угле, имеющем биссектрисой, функция не может обладать свойством как бы мал угол ни был.