§ 125. Случай алгебраического соотношения жанра единица.

Допустим сначала, что соотношение будет жанра единица. Функции

удовлетворяют алгебраическому соотношению, когда остается внутри круга Допустим, сверх того, что когда внутри точка не совпадает никогда с определенной точкой поверхности Римана. Мы говорим, что есть исключительная точка для пары.

Соотношение может быть решено помощью двояко-периодических функций параметра так, что между точками параллелограма периодов

и точками поверхности Римана устанавливается взаимно однозначное соответствие. Пусть есть некоторое значение и, соответствующее точке другие получаются прибавлением периода есть ломорфная функция во всякой точке поверхности Римана; функция

голоморфна в круге где она не принимает ни значения ни другого значения отличающегося от первого периодом. Семейство функций есть нормальное семейство; то же самое для семейств мероморфных функций

Если фиксировать то получим, как в предыдущем, верхний предел для зависящий от

Существует число зависящее только от такое, что во всяком круге с центром в начале и радиусом большим либо одна из функций х и у перестает быть мероморфной, либо точка совпадает с точкой

В частности, сделаем предположение, что никогда не принимает частного фиксированного значения а, которое можно, выполнив в случае необходимости линейное преобразование над считать бесконечностью; тогда функция голоморфна в круге (С):

Существует число зависящее только от такое, что во всяком круге с центром в начале и радиусом большим либо перестает быть голоморфной, либо у перестает быть мероморфной.

Допустим теперь, что точка может совпадать с определенной точкой поверхности Римана, но это не может происходить более раз. Пусть

будут значений и, отличающиеся одно от другого периодами и соответствующие этой точке Ни одна функция не может принять более из этих значений, пока в круге (С): следовательно, имеется не менее двух значений последовательности, которые не принимает функция. Пусть тогда дана бесконечная последовательность функций и существует два частных значения последовательности и которые будут исключительными для бесконечной последовательности выбранной из первой, потому что число пар выбранных значений в последовательности им конечно. Тогда последовательность нормальна. Итак, семейство функций нормально и результаты предыдущего параграфа применимы.

Существует число зависящее только от такое, что внутри всякого круга с центром в начале и радиусом большим либо одна из функций х и у перестает быть мероморфной, либо точка проходит более раз через точку

Существует число зависящее только от такое, что внутри всякого круга с центром в начале и радиусом большим либо функция имеет более полюсов, либо функция у перестает быть мероморфной.

Разумеется, вместо того, чтобы фиксировать значения можно подчинить функции условию, что точка совпадает

для с точкой и для с другой точкой поверхности Римана.

Наконец, в предыдущих условиях семейства нормальны и можно распространить теоремы Витали и Бляшке на бесконечные последовательности из этих систем.