§ 103. Множитель. Область притяжения.

Пусть есть неподвижная точка преобразования коэфициент при в разложении функции равен

Мы назовем множителем неподвижной точки порядка число коэфициент в разложении (или , если есть конечно удаленная точка).

Если то точка называется неподвижной притягивающей точкой.

Если то она называется неподвижной отталкивающей точкой.

Если то — неподвижной индиферентной точкой или

Число не изменится, если совершить над одно и то же линейное преобразование или вообще преобразование, конформное в соседстве с точкой Следовательно, мы можем всегда предполагать, что находится на конечном расстоянии.

Пусть есть иикл» соответствующий точке С порядка Вычислим множители, соответствующие этим различным неподвижным точкам порядка Имеем:

следовательно,

Итак, все множители равны.

Изучим сначала неподвижную притягивающую точку первого порядка.

Так как имеет модуль меньше единицы, то можно провести круг с центром в в котором остается меньше числа а, меньшего единицы. Тогда имеем:

откуда

Таким образом последовательность сходится равномерно к С, когда бесконечно растет. Последующие для каждой точки круга сгущаются к точке Множество точек плоскости, для которых имеет пределом образуют область притяжения точкой Она вообще состоит из счетного множества открытых областей. Эти области притяжения содержат, конечно, связную область, внутри которой находится

эта последняя область называется областью непосредственного притяжения точкой

Рассмотрим теперь неподвижную точку притяжения порядка для это есть точка первого порядка для

Можно повторить для последовательности все, что мы только что сказали; функции имеют пределом когда в (у); последовательность имеет пределом и т. д. Последовательность имеет пределом Мы говорим, что сходится равномерно к циклу. Пусть есть область непосредственного притяжения точкой области непосредственного притяжения точками последующие для Множество этих областей образует область непосредственного притяжения циклом. Так же определяется вся область притяжения.