§ 95. Теорема Ненча (Jentzsch).

Мы видели, что вокруг точки точки расходимости или неравномерной сходимости последовательности — функции а имеют бесконечное множество нулей кррме, быть может, одного исключительного значения а. Имеются случаи, когда можно утверждать, - что это исключение не появляется.

Рассмотрим, например, последовательность полиномов:

отрезков ряда Тейлора, имеющего круг сходимости с конечным отличным от нуля радиусом. Я утверждаю, что вблизи всякой точки окружности уравнения

имеют бесконечное множество корней. Очевидно достаточно ограничиться нулями функций ибо можно заменить функцией Итак, докажем теорему Иенча.

Всякая точка окружности круга сходимости ряда Тейлора есть предельная точка нулей полиномов-отрезков этого ряда.

Мы можем предполагать, что круг сходимости имеет радиусом единицу. Пусть есть точка этой окружности с аффиксом если полиномы не имеют вблизи точки бесконечного множества нулей, то можно провести круг с центром в и радиусом в котором эти полиномы, начиная с некоторого индекса, не обращаются в нуль. В этом круге функции

голоморфны. Я утверждаю, что их модули ограничены. Пусть два положительных числа таких, что

Имеем

где обозначает максимум для Следовательно, для

следовательно, ограничены; достаточно взять больше, чем чтрбы убедиться, что ограничены в

В области, общей кругам и функции сходятся к сходятся к единице; так как последовательность нормальна, то предельные функции суть постоянные с модулем, равным единице, и если выбрать в некоторой определенной точке этой области значение корня так, чтобы в этой точке предел функции был равен единице,

то то же самое будет во всей области и, следовательно, во всем круге Итак, мы можем взять настолько большим, чтобы

или

и

для всякой точки внутренней для и в частности для точки

внутри и вне (С); тогда имеем:

откуда

Следовательно, ряд Тейлора будет сходиться вне круга что невозможно.

В последовательности отношение степеней двух последовательных полиномов имеет пределом единицу. Теорема, как показал Сеге (G. Szego) остается справедливой для всякой подпоследовательности такой, что отношение имеет пределом единицу, когда бесконечно растет.