§ 84. Общая теорема.

Перейдем теперь к общему случаю:

я утверждаю, что может быть исключительной только, если В самом деле, напишем;

Функция есть функция искючительная, как мы только что доказали. Функция имеет, следовательно, бесконечное множество нулей Нуль содержится в кольце Рассмотрим тогда последовательность она нормальна в ; следовательно, можно выбрать подпоследовательность равномерно сходящуюся в к функции которая не будет равна тождественно ни нулю ни бесконечности, потому что

Так как функция предполагается исключительной, то последовательность нормальна; можно выбрать подпоследовательность сходящуюся равномерно в Проведем круг радиуса большего единицы и такой, что предельная функция не имеет на его окружности ни нуля, ни полюха. На этой окружности отношение:

сходится равномерно, но функция есть целая функция, лишенная нулей; следовательно, для сходится тоже равномерно.

Следовательно, последовательность нормальна. Мы знаем, что может быть только полиномом; так как он не обращается в нуль

и то тождественно равна единице и тождественный нуль.

Таким образом мы доказали общую теорему Островского: Чтобы мероморфная функция была исключительной, необходимо и достаточно, чтобы она имела вид:

где нули и полюсы удовлетворяют следующим условиям:

I. Разность между числом нулей и числом полюсов, заключенных в круге с центром в начале, ограничена по модулю, каков бы ни был радиус.

II. Число нулей и число полюсов, заключенных в кольце:

ограничены, каково бы ни было Числа I а ограничены, каковы бы ни были Ни одно предельное значение отношений не равно единице.

Наиболее простым примером функции, обладающей указанными свойствами, служит функция:

которую мы уже рассматривали для

Предложим себе теперь найти все мероморфные функции исключительные в окрестности существенно особой точки. Можно предполагать, что эта точка в бесконечности и что мероморфна для и писать:

функция мероморфна во всей плоскости и имеет те же самые нули и полюсы, что для Тогда функция регулярна в каждой точке, внешней кругу и не обращается в нуль. Она необходимо однозначна в области Когда пробегает окружность аргумент функции изменяется на конечную величину, кратную пусть это изменение будет Тогда функция однозначна и регулярна в окрестности бесконечно удаленной точки, и то же самое для ее логарифма, потому что эта функция не обращается в нуль. Этот логарифм может быть представлен рядом Лорана:

где целая функция, а функция регулярная для которую можно считать в бесконечности равной нулю; тогда будем иметь

и

Функция

мероморфна во всей плоскости; функция

голоморфна для и равна единице в бесконечности; можно написать:

Но функция есть функция исключительная; в самом деле,

имеет пределом единицу равномерно в ; следовательно, семейство и семейство нормальны одновременно и функции суть одновременно исключительные функции.

Итак, всякая функция, исключительная мероморфная в окрестности бесконечно удаленной точки равна произведению мероморфной функции, исключительной на регулярную функцию, равную единице в бесконечности. Обратно, всякая функция, так образованная, есть исключительная в окрестности бесконечно удаленной точки.