§ 51. Теорема Пуанкаре.

Мы обязаны Пуанкаре следующим предложением:

Существует только одно единственное конформное отображение открытой области на открытую область устанавливающее соответствие между элементом прикосновения внутри и элементом прикосновения внутри

Под элементом прикосновения мы понимаем всегда точку и направление, проведенное из этой точки.

Можно предполагать, что область есть круг потому что, как мы скоро увидим, всякая односвязная область может быть отображена на круг; кроме того, в силу свойств линейного преобразования плоскости можно предполагать, что точка о, соответствующая точке О, является центром круга и что положительное направление оси соответствует данному направлению, Пусть

суть два отображения области на устанавливающие соответствие между выбранными элементами прикосновения, и пусть функция, обратная Функция

отображает круг сам на себя; при этом сохраняется центр о и положительное направление оси Достаточно доказать, что это отображение есть тождественное преобразование потому что тогда будут тождественны. Итак, нужно доказать, что тождественное преобразование есть единственное конформное отображение круга самого на себя, которое сохраняет некоторый элемент прикосновения.

Дадим два доказательства этого, поучительные с различных точек зрения.

Рассмотрим сначала все конформные преобразования:

которые переводят круг в самого себя. Так как окружность есть кривая аналитическая, то, как мы знаем, непрерывное соответствие имеет место и на границе. Следовательно, оно может быть продолжено методом

симметрии. Так как область, симметричная внутренности круга относительно окружности, есть его внешность, то функция определена и мероморфна во всей плоскости и принимает один и только один раз всякое конечное и бесконечное значение; следовательно, это есть линейная функция: всякое конформное отображение круга на самого себя получается помощью линейной функции.

Пусть теперь — аффикс точки круга, которая соответствует центру (фиг. 15); имеем:

Обозначим через а число, сопряженное с точка симметричная относительно окружности, имеет аффикс следовательно,

потому что точка, симметричная центру, есть бесконечно удаленная точка. Линейная функция имеет, следовательно,

где обозначает постоянную.

Фиг. 15.

Выразим, что точки окружности соответствуют точкам этой же окружности; нужно, чтобы когда

Но если есть аффикс точки окружности, то имеем:

где -точка прикоснсвзния к окружности касательной, проведенной из следовательно,

или

и

Если преобразование сохраняет центр, то оно приводится к повороту на угол если сверх того направление должно сохраниться, и единственное возможное преобразование есть тождественное преобразование.

Другое доказательство основано на важной лемме Шварца. Пусть

есть функция, голоморфная в коуге радиуса обращающаяся в нуль начале. Для всякого а внутри круга имеем:

где максимум модуля в круге.

Мы можем всегда считать, что равны единице, заменив на на Итак, все сводится к доказательству того, что

во всякой точке внутри круга.

В самом деле, функция голоморфна в круге, потому что равна нулю в центре. Так как максимум модуля голоморфной функции не может достигаться во внутренней точке, то имеем в круге радиуса :

и, так как произвольно мало,

Если теперь существует внутренняя точка где

то функция будет иметь максимум во внутренней точке круга: она приводится к постоянной и тоже имеет место для следовательно:

Пусть теперь есть функция, дающая конформное отображение круга на самого себя и сохраняющая начало: Имеем для всякой внутренней точки

и, следовательно

но после таких же рассуждений

следовательно, -постоянная, модуль которой равен единице, и преобразование сводится к повороту на угол Этот угол равен нулю, если ось сохраняется.

Это доказательство ничего не предполагает относительно соответствия на окружности

Теорема Пуанкаре показывает что конформное отображение открытых областей полностью определяется соответствием двух внутренних элементов прикосновения. Если отображение возможно, то мы не можем влиять на то, что происходит на границе: нам надлежит исследовать поэтому, будут ли соответствовать точки двух границ.