§ 82. Условия Островского.

Можно поставить себе задачу характеризовать исключительную функцию с помощью только двух последовательностей значений, например, последовательностью ее нулей и последовательностью ее полюсов, и дать способ эффективного построения всех исключительных функций. Эта проблема полностью разрешена Островским в прекрасном уже цитированном мемуаре

Обозначим через отличные от нуля нули и полюсы функции Сперва мы докажем, что разность между числом нулей и числом полюсов, заключенных в круге имеет ограниченный модуль, каково бы ни было В противном случае, каково бы ни было , имеется число для которого соответствующая разность будет больше потому что если разность не допускает предельного значения то она допускает и мы можем заменить на Пусть нуль с наибольшим модулем из всех, меньших (или один из нулей, если несколько нулей имеют одинаковый модуль) и полюс с наименьшим модулем из всех, больших Всегда можно считать, что нет ни нуля, ни полюса с модулем можно изменить слегка это число в противном случае. Проведем прямолинейный отрезок, который соединяет точку с точкой когда пробегает этот отрезок, изменяется непрерывно от до Следовательно есть по крайней мере одна точка этого отрезка, для которой С другой стороны, разность не может убывать, когда переходим от потому что, если то остается равным меньше или равно а если то больше или равно равно Итак, последовательность обладает тем же свойством, что и последовательность Образуем семейство по предположению оно нормально в и ни одна предельная функция не равна ни нулю, ни бесконечности, потому что

Выберем из последовательности подпоследовательность, сходящуюся в равномерно к предельной функции эту последовательность мы назовем Проведем окружность радиуса не меньшего единицы, и такую, что на ней нет ни полюса ни нуля функции

Разность относящаяся к функции и к кругу равна разности, относящейся к функции и к кругу следовательно, она увеличивается бесконечно вместе с k. То же самое будет для разности относящейся к функции и к кругу (С);

в самом деле, семейство нормально в кольце

и ни одна предельная функция не будет равна тождественно ни нулю, ни бесконечности. Итак, число нулей и число полюсов модули которых больше единицы и меньше или равны ограничены. Следовательно, растет бесконечно, как Это приводит нас к противоречию.

В самом деле, имеем:

На окружности функции сходятся равномерно к так как эта окружность не содержит ни одного нуля и ни одного полюса функции то же самое будет для если достаточно велико; следовательно, разность имеет пределом конечное число

и если к достаточно велико, то разность эта равна постоянному, что противоречит предположению.

Итак, если функция в круге имеет нулей и полюсов, то разность имеет ограниченный модуль. Обозначим через верхний предел этого модуля; мы говорим, что функция обладает свойством I, когда ограничена.

Непосредственное следствие свойства I: в каждом кольце которое содержит более нулей, существует хотя бы один полюс, и обратно.

Заметим также, что функция а будет исключительной, каково бы ни было а, и предыдущее свойство справедливо для разности между числом корней двух уравнений:

заключенных в круге

Я утверждаю теперь, что число нулей содержащихся в кольце , ограничена, каково бы ни было Действительно, в противном случае существует подпоследовательность, выбранная из последовательности такая, что функция номера этой последовательности имеет не менее нулей в ; эта последовательность по предположению нормальна; можно выбрать подпоследовательность сходящуюся в равномерно к предельной функции; эта предельная функция может быть только тождественным нулем, так как в противном случае число нулей функции содержащихся в было бы ограничено. Но она не может быть тождественным нулем, потому что, когда превзойдет , в необходимо будет иметься хоть один полюс. Итак, нельзя Найти последовательности обладающей указанным свойством и число нуле ограничено.

Это, очевидно, верно и для числа полюсов и для числа корней всякого уравнения:

С другой стороны, можно заменить кольца множеством колец:

с постоянным или ограниченным отношением доказательство то же самое. Можно также заметить, что каково бы ни было достаточно фиксированного числа колец чтобы покрыть указанное кольцо.

Мы говорим, что функция обладает свойством II, когда число нулей и число полюсов, содержащихся в оба ограничены.

Пусть -последовательность отличных от начала нулей функции последовательность ее полюсов; положим

сходится, как бы мало ни было Действительно, в кольце не более нулей, и каждый соответствующий член - меньше следовательно, сумма любого числа членов предыдущего ряда меньше суммы сходящегося ряда

если отбросить конечное число членов, соответствующих нулям, модули которых меньше

Итак, ряд сходится и произведение

сходится и имеет порядок нуль.

То же самое верно для соответствующего произведения образованного полюсами

Свойство II связано с изучением интеграла

а изучение интеграла

приведет нас к свойству III для исключительных функций. Ограничимся действительной частью этого интеграла и обратимся к классической формуле Иенсена (Jensen):

в этой формуле модули нулей и — модули полюсов, отличных от начала и содержащихся в круге целое положительное или отрицательное число обозначает порядок нуля или полюса, которые могут быть в начале. Наконец, предположим, что разложение функции в ряд Тейлора или Лорана вблизи начала начинается с члена это всегда можно получить, разделив в случае надобности на коэфицрент этого члена. Введем обозначение

Докажем, что ограничено сверху, а ограничено снизу. Допустим, например, что не ограничено сверху; существует последовательность чисел для которых безгранично возрастает. Рассмотрим последовательность функций соответствующих этим значениям По предположению она нормальна в ; можно извлечь из нее подпоследовательность:

которая сходится в равномерно к предельной функции Эта предельная функция не равна бесконечности тождественно, потому что равна нулю: это — мероморфная функция или тождественный нуль. Допустим сначала, что не тождественный нуль, и проведем круг радиуса большего единицы так, чтобы не имела на его окружности ни нуля ни полюса. То же самое будет для если достаточно велико. Интеграл

имеет пределом интеграл

следовательно число ограничено, в то время как бесконечно возрастает. Но имеем:

где суть нули суть полюсы, модули которых больше или равны и меньше число заключено между единицей и двумя, следовательно, множитель ограничен снизу, потому что Знаменатель дроби есть произведение множителей, меньших двух, и число этих множителей ограничено в силу свойства II. Что касается числителя, то он состоит из множителей, больших единицы; итак, множится на дробь, большую некоторого положительного предела. Следовательно, если неограниченно возрастает, то не может оставаться ограниченным. Если теперь есть тождественный нуль, то можно взять настолько большим, чтобы в Можно снова найти круг , ибо число нулей содержащихся в ограничено; находим, что и заключение остается то же самое. Предложение доказано.

Также, заменяя на получим, что ограничено снизу.

Мы говорим, что функция обладает свойством III, когда числа и ограничены.

Вот следствие из предположения, что обладает свойством III: если кольцо содержит хотя бы один нуль, то ограничено, каково бы ни было это кольцо. В самом деле, обозначая через нуль, содержащийся в этом кольце, имеем для

где суть нули и полюсы, модули которых больше или равны и меньше Но дробь заключена между меныпе и второй множитель заключен между где фиксированное число, большее числа полюсов или нулей, заключенных в кольцо видим, следовательно, что ограничено так же как Если то имеем:

и заключение будет то же самое.

Заменяя на видим, что ограничено, когда кольцо содержит полюс Если кольцо содержит не менее одного нуля и одного полюса, то ограничены.

Наконец, мы уже видели, что для исключительной функции ни одно

предельное значение отношения не может быть равно единице. В этом случае существует число такое, что имеем всегда:

мы скажем тогда, что обладает свойством IV.