§ 90. Последовательности, сходящиеся на некоторой части границы.

Можно утверждать при некоторых условиях, что последовательность голоморфных функций, которая равномерно сходится на дуге границы некоторой области, сходится внутри этой области равномерно. Пример дает теорема Вейерштрасса: если последовательность функций, голоморфных в области сходится равномерно на спрямляемой границе этой юбласти, то она сходится равномерно во всей области.

Можно доказать аналогичное предложение для последовательности, которая сходится только на дуге границы, образованной кривой Жордана.

Последовательность голоморфных функций ограниченных в области и равномерно сходящихся на дуге границы области сходится равномерно в каждой области расположенной внутри и не имеющей с границей общих точек кроме точек дуги внутренней для

Функции не предполагаются голоморфными на но они должны иметь в каждой точке дуги единственное значение, являющееся пределом их значений в соседних внутренних точках. Это мы выражаем, говоря, что эти функции непрерывны на (см. стр. 48).

Теперь мы докажем, что из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся равномерно в замкнутой области затем докажем, что сама последовательность сходится равномерно в этой области.

Фиг. 19.

Пусть (фиг. 19) — область, внутренняя для содержащая область и ограниченная кривой идущей от а к Так как последовательность ограничена в то из нее можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся во всякой внутренней области, в частности на кривой вне окрестности ее концов Проведем две дуги окружностей ее и с центрами и радиусами настолько малыми, чтобы не захватить Выбранная последовательность, которую мы продолжаем обозначать сходится равномерно на контуре кроме, быть может, точек в окрестности которых функции ограничены.

Я утверждаю, что сходимость равномерна в области, полученной выбрасыванием из точек, внутренних секторам В самом деле, достаточно приложить к разности рассуждения § 53. Можно определить целое число такое, что для неравенство

выполняется в рассматриваемой области и, следовательно, в замкнутой области последовательность сходится к функции непрерывной также на границе области

Покажем, что всякая другая подпоследовательность сходится к Действительно, в противном случае можно получить предельную функцию отличную от и принимающую на те же самые значения, что потому что данная последовательность сходится на Разность голоморфна и непрерывна в она принимает значение нуль на дуге Я утверждаю, что она — тождественный нуль. Действительно, совершим конформное отображение области на круг мы можем предполагать, что кривая которая определяет и находится внутри есть дуга Жордана, в противном случае можно ее заменить другой кривой, внутренней для Этой кривой

соответствует дуга окружности а дополнительная дуга этой окружности отвечает точкам Функция, полученная из при конформном отображении, принимаем дуге значение нуль. Мы знаем, что она тождественный нуль; итак, тождественны.

Теперь мы можем доказать, что данная последовательность сходится равномерно в (О); в противном случае можно найти положительное число и бесконечную последовательность точек внутри каждой из которых соответствуют два целых числа таких, что а из последовательности можно извлечь подпоследовательность сходящуюся равномерно к что

а из последовательности тоже можно извлечь подпоследовательность сходящуюся к Это значит, что сходится равномерно к нулю, и, следовательно, когда достаточно велико, будем иметь:

что противоречит допущению.

Фиг. 19 .

Итак, предложение полностью доказано.

Вот приложение предыдущей теоремы:

Если функция голоморфная и ограниченная в угле непрерывна на стороне и при приближении к О по этой стороне стремится к нулю, то она стремится к нулю по любому пути, кончающемуся в точке О и заключенному в угле сторона которого лежит внутри

Другими словами функция равномерно стремится к нулю в угле вблизи точки О.

Применим процесс разбиения плоскости, который нам служил при доказательстве теоремы Пикара. Проведем (фиг. 19bis) дуги кругов с центром в точке О и радиусами Пусть область, ограниченная отрезками и дугами Теперь проведем в угле две дуги окружностей и с центром О и радиусами у и у, определяющие заштрихованную область внутри с которой имеют общий отрезок границы. Пусть области, подобные получающиеся из них при преобразовании подобия с отношением Функции голоморфны и ограничены в они непрерывны и равномерно сходятся в к функции, голоморфной в области и

непрерывной на отрезке прямой где она принимает значение нуль. Следовательно, это — тождественный нуль. Значения функций представляют значение в области которые вблизи О заполняют угол следовательно, существует круг с центром в О и с радиусом настолько малым, что в определенном им секторе функция имеет произвольно малый модуль. В частности невозможно, чтобы функция, голоморфная и ограниченная в угле и непрерывная на его сторонах, стремилась к пределу а по радиусу и к пределу а по радиусу В самом деле, она должна была бы по внутреннему радиусу стремиться сразу к

Эта последняя теорема Линделбфа (Lindelof) остается верной, если заменить лучи и кривыми Жордана без двойных точек, не имеющими общих точек, отличных от О. Действительно, мы можем соединить эти две кривые третьей, проходящей через точку А на первой и через точку В на второй. Функция будет голоморфна и ограничена в полученном криволинейном треугольнике Совершим конформное отображение этого треугольника на круговой сектор так, чтобы точки О и о) соответствовали. Между точками контуров будет установлено однозначное и непрерывное соответствие. Тогда мы сведем все к предыдущему случаю.

Мы использовали уже раньше последнюю теорему для изучения конформного преобразования (гл. IV, § 54), однако, для ее доказательства мы обращались дважды к теории конформного отображения. Легко доказать, что последовательность доказательств может быть установлена без того, чтобы предложения были подчинены одно другому: достаточно использовать классический результат о конформном отображении областей, ограниченных аналитическими дугами. Известно, что возможно отобразить на круг односвязную область, ограниченную конзчлым числом аналитических дуг, и что тогда между точками двух контуров имеется взаимно однозначное и непрерывное соответствие. Это положение остается точным в случае, когда область ограничена счетной бесконечностью аналитических дуг, точки соединения которых имеют единственную предельную, т. е. ломаной линией, звенья которой — аналитические дуги и которая имеет бесконечное множество звеньев вблизи одной из свэих точек.

Мы можем тогда доказать теорему о сходимости в случае Простых областей, ограниченных аналитическими дугами. Потом можем доказать предыдущую теорему в случае, когда две кривые, выходящие из О, суть две ломаные линии с аналитическими звеньями, имеющими вблизи О и только вблизи О бесконечное множество звеньев. Но именно в этом частном случае теорема была использована в гл. IV. Можно, следовательно, беря далее теоремы гл. IV в их последовательности, получить свойства конформного отображения в наиболее общем случае. Тогда мы можем восстановить теоремы настоящего параграфа в их порядке и во всей общности.