§ 45. Случай целых функций.

Вторая теорема Пикара и дополнение Жюлиа приложимы, в частности, к целым функциям. Можно взять за основную область кольцо или круг, имеющие центром произвольную точку О плоскости, и рассматривать на этот раз круги, радиусы которых возрастают в геометрической прогрессии.

Круги имеют центры на луче и удаляются, когда возрастает; они заключены в произвольно малом угле, имеющем вершиной О и биссектрисой У, и их радиусы бесконечно возрастают. Рассмотрим на некоторых примерах распределение лучей вокруг точки О.

Прежде всего пусть дана функция Положим Семейство рассматриваемых нами функций есть

на всяком луче проведенном в сторону положительных бесконечно возрастает; также на всяком луче, проведенном в сторону отрицательных, стремится к нулю. Ни одна из этих прямых не может быть прямой Луч может быть только направлен по мнимой оси. В действительности оба луча прямые 7: в самом деле, пусть какая-нибудь точка мнимой оси; как бы ни был мал круг с центром в точке семейство не будет нормально в этом круге, потому что в любой точке в правой половине круга бесконечно возрастают вместе с а в любой точке в левой половине стремятся к нулю; таким образом ни одна последовательность не может сходиться равномерно ни к голоморфной функции, ни к бесконечности.

Для функции существуют четыре полупрямые 7, направленные по биссектрисам углов между осями. Существуют функции, имеющие только один луч J: Миттаг-Леффлер (Mittag-Leffler) построил функции, которые стремятся к нулю, когда бесконечно удаляется по некоторому лучу, отличному от полуоси причем сходимость равномерна во всяком угле, не содержащем

Луч есть единственный луч для этих функций. Существуют функции,

допускающие бесконечное множество лучей 7, заполняющих некоторый угол. Например рассмотрим функцию:

ее модуль есть он больше или меньше единицы в зависимости от знака

Определим полосы плоскости, ограниченные прямыми На фиг. 14 заштрихованы полосы, соответствующие

Пусть луч проведен так, что 5 положительно: вдоль этого луча бесконечно возрастает, следовательно, принимает, как бы далеко ни шли, значения очень большие и очень малые. Если рассмотрим маленький круг имеющий центр на то семейство не может быть нормальным в этом круге; в самом деле, круги делаются очень большими и заключают часть, принадлежащую многим смежным полосам, и, следовательно, начиная с некоторого номера, все функции принимают очень большие и очень малые значения, что делает невозможным равномерную сходимость. Итак, функция ее имеет лучами всякий луч, проведенный в полуплоскости

Фиг. 14.

Функция функция допускают лучами всякие лучи, исходящие из О.

Интересно знать, существует ли соотношение между родом целой функции, числом и распределением лучей и существуют ли функции, допускающие совершенное, неплотное множество прямых У.