ГЛАВА VI. ЧАСТНЫЕ КВАЗИ-НОРМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА

СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ С КВАЗИ-ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

§ 73. Основной признак.

Вот признак для квази-нормальных семейств, аналогичный введенному в § 36.

Функции мероморфные в области принимающие в этой области не более раз значение а, не более раз значение не более раз значение с, образуют семейство квазинормалъное в этой области. Порядок этого семейства равен среднему из чисел и его полный порядок конечен.

Мы можем предполагать, что числа с будут соответственно и что

Рассмотрим последовательность функций семейства, и пусть А — точка, предельная для полюсов этих функций, расположенных внутри существует число такое, что бесконечное множество функций из имеют полюсов в произвольно малом круге с центром в и только конечное число функций имеют полюсов в некотором круге с центром в число не больше Пусть последовательность, извлеченная из все функции которой имеют в точности полюсов вблизи пусть предельная точка полюсов функций последовательности отличная, от Поступаем с последовательностью и точкой как поступали с последовательностью и точкой После конечного числа операций мы получим последовательность все функции которой имеют полюсов вблизи полюсов вблизи полюсов вблизи Сумма К равна или меньше поэтому если вокруг каждой из этих точек, как около центра, опишем окружность произвольного, но фиксированного радиуса то функции из начиная с некоторого индекса, который я могу предполагать равным единице, не имеют полюсов вне этих кругов. Итак, эти функции в области которая получена из области выбрасыванием из нее точек, внутренних кругам, образуют квази-нормальное семейство, потому что они принимают не более раз значение единица и не более раз значение нуль. Мы можем из этой последовательности выбрать последовательность (2), которая сходится в Возможны два случая.

1. Предел есть функция голоморфная. Тогда сходимость равномерна в Если мы заменим круги радиуса кругами меньшего радиуса то функции из (2) перестают быть голоморфными в новой области полученной из области выбрасыванием точек, внутренних этим новым кругам; эти функции образуют нормальное семейство в этой области, так как они образуют квази-нормальное семейство, не допускающее предела, равного тождественной бесконечности. В силу теоремы Стилтьеса последовательность (2) сходится равномерно в Следовательно, сходимость равномерна в кроме, быть может, окрестностей точек число которых не больше Эти точки могут быть полюсами предельной функции, но не могут быть существенно особенными точками.

2. Предел есть тождественная бесконечность. Тогда сходимость равномерна в кроме окрестностей некоторых точек где, как мы напомнили в начале предыдущей главы, имеются нули всех функций из (2), начиная с некоторого номера. Иррегулярными точками могуть быть только точки и я утверждаю, что общее число иррегулярных точек не больше В самом деле, допустим, что существует бесконечная последовательность функций извлеченных из (2) и не имеющих нулей в окрестности Функции голоморфны в круге с центром в и стремятся равномерно к нулю на его окружности, следовательно, сходимость равномерна и внутри, и не будет иррегулярной точкой. Иррегулярными точками могут быть только такие, вблизи которых находятся нули всех функций, начиная с некоторого номера; число таких точек не может превосходить

Окончим доказательство, как в предыдущем, показав, что последовательность (2), которая сходится равномерно в области полученной из области выбрасыванием кругов радиуса с центрами в точках сходится равномерно в области, получаемой уменьшением радиусов Порядок каждой иррегулярной точки, очевидно, конечен. Так как этот порядок равен числу нулей или числу полюсов близких этой точке, то полный порядок также конечен, потому что число полюсов и нулей не может превосходить Заметим, наконец, что если предельная функция не есть тождественная бесконечность, то она может иметь полюсами только точки, предельные для полюсов всех функций последовательности, независимо от того, будут эти точки иррегулярными или нет.

Если функции, сверх того, удовлетворяют условиям то предельная функция не может быть тождественной бесконечностью.

Доказательство тогда дает, что этом случае порядок семейства не превосходит