§ 132. Признак нормальности для сложного семейства.

Семейство систем из функций, голоморфных в области будет нормально этой области, если оно допускает исключительных комбинаций, образующих две различные треугольные таблицы, и если:

1) функции ограничены в некоторой точке из

2) отклонение таблиц в некоторой точке области остается больше положительного числа.

Допустим для простоты записей, что пусть даны исключительно комбинации:

Положим:

Комбинации можно переписать в виде:

отклонение есть наименьшая по модулю разность:

из которых ни одна не является тождественным нулем, потому что в некоторой фиксированной точке это отклонение больше положительного числа а.

Функции образуют нормальное семейство, потому что они имеют исключительные значения и которые различны, ибо Возьмем бесконечную последовательность систем из последовательности, соответствующей функциям можно выбрать подпоследовательность

сходящуюся равномерно внутри к конечной предельной функции Эта функция ограничена, потому что все функции ограничены в, некоторой фиксированной точке области Положим:

Функция есть предел последовательности функций — соответствующих функциям она не может быть тождественным нулем, потому что ее значение в точке имеет модуль больший а Следовательно, она имеет конечное число нулей во всякой области внутренней для Функций

голоморфны в и не принимают значения, равного нулю. Они принимают только конечное число раз значение, равное единице: действительно, нули функции — имеют пределами нули и если достаточно велико, то функция имеет внутри в точности столько же нулей, сколько функции Вследствие этого функции образуют семейство, нормальное в а следовательно, и в поэтому функции образуют тоже семейство, нормальное в и это семейство ограничено внутри так как значения имеют ограниченный модуль в некоторой фиксированной точке области Из последовательности

можно выбрать подпоследовательность:

сходящуюся равномерно внутри к конечной функции Положим:

Убеждаемся, как и в предыдущем, что функция имеет только конечное число нулей в и то же самое для функций Функции

образуют тогда нормальное в семейство; следовательно, функции также образуют нормальное семейство; это семейство ограниченное, потому что функции имеют значения, модули которых ограничены в некоторой фиксированной точке области Из последовательности можно выбрать подпоследовательность сходящуюся равномерно в (D) к предельной функции Так как последовательности и необходимо сходятся к функциям то видно, что данная последовательность систем порождает подпоследовательность систем из трех функций сходящуюся равномерно к системе трех функций Предложение доказано.