§ 128. Целые функции. Наибольшее число исключительных комбинаций.

Допустим, что область есть вся плоскость; тогда функции суть целые функции, и то же самое для всякой линейной комбинации из этих функций.

Исключительная комбинация не имеет нуля; если число нулей конечно, то комбинация будет исключительной вне некоторого круга, содержащего все эти нули: она сводится к полиному или к произведению полинома на целую, лишенную цуля функцию где есть целая функция. Мы будем говорить, что исключительная комбинация первого типа, если это полином, и второго типа, если она — трансцендентная функция.

Если все функции не полиномы, то существует не более различных исключительных комбинаций первого типа. Ибо, если бы существовало различных комбинаций первого типа, то имели бы:

где полиномы, и детерминант из коэфициентов при отличен от нуля. Разрешая систему предыдущих уравнений относительно получим, что все эти функции суть полиномы, что противоречит условию

Я утверждаю теперь, что число различных исключительных комбинаций второго типа не превосходит В самом деле, допустим, что существует различных комбинаций второго типа:

где полиномы; целые функции, из которых ни одна не является постоянной. Так как комбинации предполагаются различными, то определитель отличен от нуля; исключая из предыдущих уравнений, получим;

или

где суть постоянные. Так как не нуль, то это тождество невозможно в силу теоремы, доказанной Борелем. Итак, можем высказать следующее предложение. Теорема. Пусть дано целых функций, из которых по крайней мере одна отлична от полинома. Тогда общее число исключительных комбинаций не может превосходить Не может существовать более различных комбинаций первого типа и более различных комбинаций второго типа.

Допустим, что комбинаций второго типа не будут различны, т. е. что будет нуль. Если первые различны, т. е. отлично от нуля, то, исключая приходим к тождеству:

и число равное отлично от нуля. Это тождество невозможно, если только одна из разностей — не будет постоянной, иначе говоря, если отношение двух исключительных комбинаций не будет рациональной дробью.

Эта теорема допускает обобщения, которые можно получить, идя по тому же самому пути, если рассматривать целые функции, конечного порядка, порядок которых не превосходит фиксированного максимума. Допустим, что функции будут порядка не выше и что одна из них в действительности порядка Мы можем повторить предыдущие рассуждения, обозначая через целые функции, порядок которых меньше