§ 18. Определение нормального семейства.

Теперь мы можем ввести понятие нормального семейства голоморфных функций.

Говорят, что семейство функций, голоморфных внутри области нормально в этой области, если из всякой бесконечной последовательности функций этого семейства можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри предельной функции, которая может быть тождественной бесконечностью.

Итак, всякая предельная функция либо всюду конечна, либо всюду равна бесконечности.

В данном определении говорится об открытой области; можно также говорить, что сходимость подпоследовательности равномерна во всякой замкнутой области внутренней для

Из доказательств, данных в § 12 и 15, видно, что для нормальности семейства в открытой области необходимо и достаточно, чтобы оно было нормально в каждой внутренней замкнутой области.

Свойство семейства голоморфных функций быть нормальным в данной области сохраняется при конформном преобразовании. В самом деле, пусть семейство голоморфных функций нормально в области плоскости Если совершим конформное преобразование области на область плоскости переменного помощью аналитической функции то функции преобразуются в голоморфные функции которые в каждой точке области принимают те же самые значения, что в соответствующей точке области следовательно, условия сходимости будут те же самые.

Если семейство функций нормально в замкнутой области то семейство функций определяемых помощью функции которая может изменяться вместе с и совершает конформное преобразование замкнутой области замкнутую область тоже нормально, потому что функции принимают в те же самые значения, что функции Если подпоследовательность сходится в к конечному пределу, то функции этой подпоследовательности ограничены в следовательно, они нормальны в Если подпоследовательность имеет бесконечный предел в то он будет таким и в