§ 112. Однородность множества g.

Пусть точка из небольшой круг с центром я утверждаю, что последующие для этого круга покрывают, если достаточно велико, всякое замкнутое множество не содержащее исключительных точек.

Возьмем отталкивающую точку близкую в круге и проведем круг с центром расположенный полностью внутри Достаточно доказать, если которая является частью покрывает если достаточно велико. Пусгь порядок цикла, которому принадлежит Можно взять настолько малым, чтобы содержалось в ибо неравенство:

справедливое в окрестности показывает, что контур, ограничивающий будет вне При этих условиях содержит бы точка не принадлежала бы то ее предшествующая порядка которая лежит в не принадлежала бы предшествующей порядка для Итак, последовательность

образована областями, вложенными одна в другую.

Всякая точка а множества принадлежит области если статочно велико, потому что значение а, не будучи исключительным для не будет исключительным и для В самом деле, допустим, что последовательность имеет единственное исключительное значение, которое можно считать бесконечностью: тогда есть полином; то же самое будет для потому что если несократимая дробь, то будет несократимой дробью. Если имеет два исключительных значения, которые можно считать нулем и бесконечностью, то будет иметь вид и тотчас же получаем, что той же формы.

Так как всякая точка а замкнутого множества принадлежит области то в силу теоремы Бореля-Лебега (Borel-Lebesgue) достаточна конечного числа областей (учтобы покрыть полностью все Пусть наибольшая из них; она содержит предыдущие и, следовательно, и тем более покрывает

Рассмотрим в частности множество точек множества внутренних существует последующая для которая полностью покрывает потому что не содержит ни одной исключительной точки. Подстановка относит точкам точки множества и обратно, потому что есть инвариант преобразований -Итак, существует рациональная дробь итерированная от которая устанавливает соответствие между и частью сколь угодно малой. Мы выражаем это, говоря: во всех своих частях одной и той же структуры или еще имеет однородную структуру.

Если, например, содержит непрерывную часть, то непрерывно.