§ 71. Квазинормальные семейства функций, число нулей которых ограничено.

Квазинормальные семейства функций, мероморфных в области где они не имеют более нулей и остаются ограниченными фиксированных точках внутри, не может иметь предельной функцией бесконечность.

Можно предположить более обще: что модули значений каждой функции и ее первых производных ограничены в точке модули значений каждой функции и ее первых производных ограничены в точке модули значений каждой функции и ее первых производных ограничены в точке лишь бы только

Мы говорим ради краткости, что функции удовлетворяют условию

В самом деле, допустим, что существует последовательность, сходящаяся тождественно к бесконечности. Рассмотрим кривую внутри охватывающую точки: и непроходящую ни через одну иррегулярную точку последовательности. Пусть полином степени принимающий в точках так же как его производные до порядка 1 включительно, те же самые значения, что функция и ее производные.

Модуль ограничен, каково бы ни было , ибо точки фиксированы и данные значения имеют ограниченные модули: достаточно обратиться к самому выражению этого полинома. Уравнение

допускает не менее корней внутри

Пусть полюсы функции расположенные в области взятой внутри и содержащей Положим

функция голоморфна в Уравнение

имеет те же корни, что уравнение (1) и его левая часть есть функция голоморфная в Она должна иметь не менее нулей внутри Но имеет, в силу условия, не более нулей, которые являются нулями и начиная с некоторого номера, имеем на контуре

потому что остается ограниченным и на кривой сходится равномерно к бесконечности; следовательно, уравнение (2) должно иметь только корней, что приводит к противоречию.

Заметим, что если бесконечная квазинормальная последовательность мероморфных функций не сходится к тождественной бесконечности, то всякая точка, действительно иррегулярная, т. е. иррегулярная для всякой подпоследовательности, имеет в свой окрестности полюсы всех функций.

самом деле, если существует бесконечное множество функций, не имеющих полюсов вблизи этой точки, то эти функции голоморфны, и, следовательно, сходятся равномерно в этой точке.

Квазинормальное семейство функций мероморфных в области где функции имеют не более нулей и не более полюсов и удовлетворяют условию есть семейство квазинормальное с конечным полным порядком.

Действительно, рассмотрим сходящуюся последовательность (5) функций семейства; она имеет конечное число иррегулярных точек. Пусть одна из этих точек; она есть предел полюсов; извлечем из последовательности (5) подпоследовательность функций, имеющих в точности полюсов вблизи а из этой последовательности выберем новую подпоследовательность функций, имеющих в точности нулей вблизи может равняться 0, но не может превосходить Поступаем с этой последовательностью как с первой, рассматривая вторую иррегулярную точку Так как сумма не может превзойти то мы остановимся после конечного числа операций. Пусть рассматриваемые иррегулярные точки, единственные иррегулярные точки последней подпоследовательности. Если предельная функция есть нуль, то порядок точки есть в противном случае порядок есть наименьшее из чисел и Следовательно, сумма порядков иррегулярных точек не больше суммы т. е. Итак, мы можем извлечь из данной последовательности функций семейства подпоследовательность полного порядка не выше следовательно полный порядок семейства не выше