§ 11. Равностепенная непрерывность.

Во всякой области, внутренней функции этого семейства обладают равностепенной непрерывностью (legale continuite).

Рассмотрим (фиг. 6) замкнутую область заключенную строго внутри т. е. такую, что замкнутая область не имеет ни одной общей точки с границей области Можно найти замкнутую область ограниченную одной или несколькими спрямляемыми кривыми такую, что дежит полностью внутри полностью внутри Пусть — положительное расстояние замкнутого множества от границы

Функции голоморфны в области и если есть точка из то

где — аффикс точки если другая точка то будем иметь:

Но на контуре имеем:

с другой стороны,

Пусть длина контура тогда можно написать:

и существует число такое, что неравенство:

выполняется для всякой функции семейства, каковы бы ни были точки области Следовательно, если дано произвольно малое положительное число и если расстояние двух точек области меньше то для всякой функции

это выражают, говоря, что функции семейства равностепенно непрерывны внутри области