§ 92. Теорема Адамара о трех кругах.

В предыдущем мы почти исключительно ограничивались функциями, которые оставались ограниченными в области, где изучалась их сходимость. Мы увидим, что теорема Стилтьеса может быть расширена на неограниченные функции при условии, что быстрота сходимости в ядре, где ряд сходится, компенсирует рост максимального модуля функций последовательности.

Сначала вспомним предложение Адамара (Hadamard) называемое теоремой о трех кругах.

Пусть есть функция, голоморфная в кольце, образованном двумя концентрическими кругами радиусов максимальные модули функции на окружностях и на окружности радиуса заключенного между удовлетворяют неравенству:

где

Это неравенство можно также записать так:

или

т. е.

В самом деле, рассмотрим функцию

она гармонична в кольце бесконечна и отрицательна в нулях функции отрицательна или нуль на окружностях и повторяя рассуждения параграфа 24, выводим отсюда, что отрицательна или нуль во всех точках кольца.

В частности возьмем на окружности точку в которой достигает максимума Мы будем иметь:

и неравенство Адам а доказано.

Очевидно, что у убывает от единицы до нуля, когда возрастает от до Если, например, то выражение:

возрастает, когда у убывает, следовательно, неравенство Адамара справедливо в кольце

если то неравенство справедливо для

Мы видели, что неравенство можно записать в симметричной форме при помощи детерминанта:

Говорят, что функция действительного переменного выпукла в интервале, если дуга всегда ниже хорды; функция — вогнутая, если дуга выше. Очевидно, что функция есть выпуклая функция от в интервале