§ 59. Области, ограниченные кривой Жордана.

Все точки простой замкнутой кривой Жордана суть достижимые изнутри этой кривой единственным способом. Докажем, что это суть простые точки границы.

Пусть точка кривой, соответствующая значению параметра; пусть внутри проведена ломаная или аналитическая линия кончающаяся в и пусть последовательность: точек, внутренних или граничных, стремится к Я утверждаю, что эта последовательность стремится к как т. е. точки соответствующие

стремятся к той же самой точке окружности что и путь соответствующий

В самом деле, проведем (фиг. 18) окружность с центром в проходящую через Пусть значения параметра для концов дуги содержащей значения параметра для первой и последней точек встречи окружности и кривой Числа по необходимости имеют пределом , когда возрастает бесконечно, иначе точки, соответствующие этим значениям, имели бы предельной точкой точку, отличную от Следовательно, наибольшее расстояние точки от точек дуги кривой стремится к нулю и существует последовательность чисел стремящихся к нулю, таких, что круг с центром в и радиусом содержит дугу строго внутри и, следовательно, тоже. Пусть дуга окружности радиуса пересекающая в нечетном числе точек, из которых одна есть она делит на две области; есть точка границы для одной из них, а начало О линии принадлежит другой. Но можно пройти из следуя по части дуги и части не встречая, следовательно,

Фиг. 18,

При конформном отображении дугам соответствуют дуги содержащие точки которые стремятся к эти трансверсали не могут иметь пределом дугу границы круга и поэтому стремятся к точке следовательно, и точки принадлежащие той из двух областей, образованных дугой которая не содержит точки о, тоже стремятся к Итак, последовательность стремится к так же как путь В частности, предполагая, что точки находятся на границе выводим, что есть непрерывная функция

Всякой точке соответствует единственная точка Обратное справедливо, потому что точки, соответствующие бесконечной последовательности точек, стремящихся к точке окружности не могут иметь предельными точками двух различных точек на Итак, так как все точки достижимы, соответствие между точками границ взаимно однозначно. Мы видели, что есть непрерывная функция так как соответствие взаимно однозначно, то тоже непрерывная функция Соответствие между точками замкнутых областей взаимно однозначно и непрерывно.

Кривая определена уравнениями:

две непрерывные периодические функции параметра например с периодом Точки окружности определены своим полярным углом 6. Угол 6 есть непрерывная функция и можно предположить, что обращаются в нуль одновременно.

Функция всегда изменяется монотонно, в противном случае существовали бы две различные точки границы которые

соответствовали бы одной и той же точке Предположим ее возрастающей; когда растет от до функция растет от нуля до некоторого предела. Этот, предел не может быть меньше потому что тогда была бы дуга окружности которая не соответствовала бы никакой точке границы, и не может быть больше Итак, он равен и когда точка обегает один раз кривую соответствующая ей один раз полностью обегает окружность.