§ 102. Неподвижные точки. Циклы.

Определим теперь неподвижные точки, которые играют в итерации фундаментальную роль. Двойной точкой или неподвижной точкой подстановки называют всякое решение уравнения степени:

В частности, двойные точки подстановки суть корни уравнения степени

Всякий корень этого уравнения есть, кроме того, нуль функции каково бы было вообще нуль функции есть также нуль функции когда кратно

Пусть неподвижная точка будет мы говорим, что эта точка есть неподвижная точка порядка если она не является неподвижной точкой для подстановки где меньше В последовательности:

есть тогда первая точка, которая совпадает с Последовательность первых членов:

определяет цинл порядна относящийся к равенство

влечет

итак — также неподвижная точка; то же самое для Все эти неподвижные точки порядка Так как бесконечная последовательность периодическая, то, чтобы это проверить, достаточно показать, что членм периода различны. Если бы имели:

то вывели бы:

или

что невозможно.

Единственные, совпадающие с С из ее последующих суть точки индекс которых будет кратное Итак, если есть неподвижная точка подстановки то делится на порядок точки Корни уравнения

распределяются по циклам, порядок которых есть делитель Пусть С есть неподвижная точка порядка 1; имеем

Отсюда выводим:

и

Итак, обозначая чергз сумму в скобках, имеем:

есть простой корень если не является корнем не единицы; если то и мы имеем:

есть корень кратности для обоих уравнений. Предположим теперь, что примитивный корень уравнения Если не будет кратно то есть простой корень обоих уравнений; если кратно то есть простой корень уравнения и корзнь кратности или кратности высшей для уравнения в зависимости от того, будет ли отлично от нуля или нет, иначе говоря, в зависимости от того, будет ли кратно или нет. Число чисел соответствующих корням уравнении для которых будет примитивным корнем уравнения ограничено; если есть простое число, отличное от то нули являются нулями и имеют ту же кратность; итак, к корней уравнения

порядка распределяются в циклов порядка следовательно, существуют циклы сколь угодно высокого порядка.

Мы предполагали, что отлично от бесконечно удаленной точки; но всегда можно, произведя над одно и то же линейное преобразование, получить, что бесконечно удаленная точка не будет неподвижной точкой первого порядка.

Впрочем, когда бесконечно удаленная точка есть неподвижная точка первого порядка, имеем Когда то

заменяя на и на имеем:

Точка есть неподвижная точка первого порядка для преобразования получаемого посредством когда имеем:

где голоморфна в бесконечности и отлична от нуля, и голоморфна в начале, которое будет для этой функции нулем порядка

Вообще мы будем рассматривать бесконечно удаленную точку, как обыкновенную точку, вводя в случае нужды сферу Римана, на которой точка, изображающая определяет непрерывную функцию

Определения и свойства, которые мы ввели будут справедливыми для бесконечно удаленной точки; можно их свести к элементам в начале с помощью замены на на