ГЛАВА 1. МНОЖЕСТВА ТОЧЕК. СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ. МНОЖЕСТВА ТОЧЕК ОБЛАСТИ

§ 1. Множество. Предельная точка.

Напомним кратко некоторые основные свойства множеств точек и областей. Мы будем рассматривать множества точек, лежащих в плоскости, и будем предполагать вообще, что рассматривается плоскость комплексного переменного, одна определенная точка которой соответствует всем значениям переменного с бесконечно большим модулем и называется бесконечно удаленной точкой.

Говорят, что множествр точек ограничено, если все его точки лежат внутри некоторого круга.

Предельной точкой или точкой накопления множества называют всякую точку такую, что в произвольном круге с центром в точке найдется точка множества отличная от Точка может принадлежать, но может и не принадлежать множеству Всякая точка множества которая не является предельной точкой, есть изолированная точка.

Если множество имеет предельную точку то оно содержит бесконечное множество точек; в противном случае круг достаточно малого радиуса с центром в точке не содержит ни одной точки множества, отличной от обратно:

Всякое бесконечное множество точек имеет не менее одной предельной точки.

Сйачала допустим, что множество ограничено, т. е. существует круг, «следовательно, и квадрат со стороной а, содержащий все точки множества. Для доказательства применим хорошо известный метод вложенных квадратов. Разделим квадрат средними линиями на четыре равных квадрата: хотя бы один из полученных квадратов содержит бесконечное множество точек; пусть будет один из квадратов, обладающих этим свойством. Разделим при помощи средних линий квадрат на четыре квадрата: мы получим квадрат содержащий бесконечное множество точек, и т. д. Бесконечная последовательность квадратов:

длины сторон которых будут соответственно:

имеет пределом единственную точку

В самом деле, легко видеть, что если взять оси параллельно сторонам квадратов, то абсциссы точек, лежащих на сторонах параллельных имеют предел, равный и ординаты точек на сторонах параллельных имеют предел, равный есть аффикс точки Я утверждаю, что точка есть предельная точка множества.

Построим круг произвольного радиуса с центром в точке Когда будет так велико, что выполняется неравенство:

квадрат полностью принадлежит кругу, потому что точка есть точка, общая всем квадратам. Следовательно, найдутся точки множества сколь угодно близкие к точке

Предположим теперь, что множество неограниченно, и построим концентрические круги См с радиусом

Либо один из этих кругов содержит бёсконечное множество точек: тогда он содержит не менее одной предельной точки на конечном расстоянии, либо, как бы ни был велик круг, он содержит только конечное число точек. Так как тогда существуют точки множества вне круга каково бы ни было , мы скажем, что бесконечно удаленная точка есть предельная точка. Для неограниченного множества всегда существует такая предельная точка.

Чтобы полностью дать себе отчет необходимости считать в, предыдущем случае бесконечно удаленную точку предельной точкой, достаточно отобразить комплексную плоскость на сферу Римана (Riemans) с помощью инверсии, полюс которой есть точка сферы, проектирующаяся в точку О плоскости. Круги преобразуются в круги, лежащие на сфере и имеющие общим центром точку , и точки сферы, соответствующие точкам множества, сгущаются около