§ 35. Иррегулярные точки.

Пусть последовательность

выбрана из семейства, квазинормального в и пусть точка А действительно является иррегулярной точкой для Мы понимаем под этим, что не существует последовательности, извлеченной из которая бы равномерно сходилась в окрестности А.

Каково бы ни было а, начиная с некоторого значения все уравнения имеют корень в окрестности А.

Допустим, что это не так: тогда существуют числа а, круг с центром в и бесконечная последовательность:

такая, что не имеет нуля в круге Из последовательности можно выбрать другую последовательность которая сходится равномерно, исключая окрестности точки А и конечного числа других точек. В силу предыдущего замечания предельная функция есть тождественная бесконечность, потому что точка А действительно является иррегулярной точкой последовательности В частности, последовательность. сходится равномерно к бесконечности на окружности Функции

голоморфные внутри стремятся равномерно к нулю на а следовательно, и внутри короче, сходятся равномерно к бесконечности внутри следовательно, также в точке что противоречит предположению.

Рассмотрим, например, функции где X — произвольный параметр. Возьмем последовательность

стремящуюся к пределу соответствующие функции стремятся равномерно во всякой конечной области к голоморфной функции Напротив, если сходятся к бесконечности, то последовательность функций сходится к бесконечности равномерно во всякой ограниченной области, не содержащей начала. Итак, это семейство есть квазинормальное семейство порядка 1 с иррегулярной точкой в начале.

Функция где полином, также имеет иррегулярными точками все корни этого полинома.