§ 42. Вторая теорема Пикара.

Докажем теперь вторую теорему Пикара. Пусть функция имеет изолированную существенно особую точку, которую мы можем считать находящейся в начале функция голоморфна около этой точки. В этих условиях уравнение допускает бесконечное множество корней вблизи особой точки, за исключением, быть может, одного значения для а.

В самом деле, допустим, что существует два исключительных значения, которые мы снова будет считать нулем и единицей. Проведем из точки О как центра круг настолько малого радиуса, чтобы внутри этого круга не было ни одной особой точки, кроме точки О, и примем за единицу длины половину этого радиуса (фиг. 13). Опишем последовательность кругов с центром в О и радиусами Пусть -кольцо, заключенное между кольцо, заключенное между и Рассмотрим теперь семейство функций

все функции конечны и голоморфны в кольце Функция принимает в кольце те же самые значения, что в кольце заключенном между и и она принимает в те же самые значения, что в кольце заключенном между и

Функции не принимают в ни значения нуль, ни значения единица, следовательно, семейство этих функций нормально в Я утверждаю, что это заключение невозможно. В самом деле, пусть какая-нибудь точка в кольце (у): предположим сначала, что множество точек допускает предельную точку на конечном расстоянии; тогда можно выбрать из последовательности бесконечную подпоследовательность такую, что числа будут ограничены.

Функции принадлежащйе нормальному семейству, ограничены по модулю в области (у); следовательно, функция имеет ограниченный модуль на бесконечном множестве окружностей, стремящихся к точке О. Отсюда заключаем, что голоморфная вблизи О, имеет ограниченный модуль между этими окружностями и, следовательно, что эта функция, ограниченная вблизи О, будет голоморфна в точке О. Предположим теперь, что единственная предельная точка для точек будет точка в бесконечности; достаточно в предыдущем рассуждении заменить функцией которая также голоморфна вблизи О, и доказать, что эта точка есть обыкновенная точка для и, следовательно, полюс для Ни в одном из обоих случаев точка О не будет существенно особой точкой. Итак, предложение доказано.

Фиг. 13.

Предположить, что голоморфна около О, значит сказать, что значение бесконечность есть исключительное значение для вблизи итак, теорема может быть высказана следующим образом: аналитическая однозначная функция не может около О иметь трех исключительных значений К этому случаю немедленно сводится случай, где три исключительные значения суть три различные числа потому что линейное преобразование

заменяет однозначную функцию голоморфной функцией не принимающей ни одного из значений нуль и единица вблизи точки О. Если же точка О не будет существенно особой точкой для она не будет существенно особой для Итак, можно высказать следующую общую теорему:

Функция, однозначная в окрестности изолированной особой точки может иметь в ней не более двух исключительных значений?

Кроме того, этот предел может достигаться: например, не может быть никогда ни нулем, ни бескойечностью и имеет начало особой точкой; если а отлично от нуля, то уравнение

всегда имеет вблизи начала бесконечное множество корней.

В предшествующей теореме можно заменить исключительные значения многочленами или функциями, голоморфными в точке О. В самом деле, пусть даны три различные исключительные функции голоморфные в функция:

голоморфна и отлична от нуля и единицы вблизи О, потому что разности имеют только конечное число нулей вблизи О.