§ 47. Теорема Ландау.

Вот теорема Ландау. Пусть

есть функция, голоморфная в круге радиуса и не принимающая в этом круге ни значения нуль, ни значения единица. Число не может превосходить предела, который зависит только от

В самом деле, рассмотрим все функции, которые удовлетворяют высказанным условиям, фиксированы. Мы можем применить теорему Шоттки: взяв, например, получим, что функция имеет ограниченный модуль на окружности радиуса Верхний предел зависит только от С другой стороны, теорема Коши дает

и, следовательно,

или

Можно утверждать, что в круге, радиус которого R больше этого предела, либо функция перестает быть голоморфной, либо она принимает в этом круге хотя бы одно из двух значений: нуль и единица.

Так мы доказали существование верхнего предела для точное значение этого предела было получено Каратеододо (Carattodory).

Гипотеза имеет целью исключить постоянные из множества рассматриваемых функций. Если вместо этого потребуем что также исключает постоянные из рассматриваемого семейства функций, то таким же приемом получим неравенство:

Теорема Ландау приложима, в частности, и к многочленам. До сих пор не могут доказать ее для этого случая алгебраическим путем. Впрочем, обратно, если алгебраическим путем найти, что в случае полиномов предел для зависит только от то легко будет вывести общую теорему относительно любых функций.