§ 76. Распространение теоремы Ландау.

Предположим теперь, что функции удовлетворяют условиям вместо условий Следовательно, мы предполагаем, что выполняется одно из трех следующих условий:

1) Значения даны или ограничены в фиксированных точках,

2) Значения и их первых производных в некоторой фиксированной точке даны или ограничены,

3) В каждой из фиксированных точек даны или ограничены значения и соответственно ее первых производных, причем:

Я утверждаю, что в каждом из этих случаев существует число зависящее только от данных, такое что во всяком круге с центром в начале и радиусом, большим всякая функция перестает быть мероморфной или принимает более раз значение единица более раз значение нуль, или более чем раз значение бесконечность. Отступления от этой теоремы могут иметь место при некоторых особых обстоятельствах, которые будут оговорены в последующем.

В самом деле, возьмем случай, когда выполняется условие (этот случай содержит два других), и предположим, что значения и ее производные заданы в точках: Если число не существует, то каково бы ни было число можно найти функцию мероморфную в круге и удовлетворяющую высказанным условиям.

Тогда в круге существует последовательность, извлеченная из

которая сходится равномерно, за исключением, быть может, точек, к мероморфной функции Эта последовательность квази-нормальна порядка не выше в круге Из нее можно извлечь последовательность:

которая сходится в этом круге равномерно кроме, может быть, точек к мероморфной функции, которая не может быть отличной от Можно продолжить таким образом и притти к последовательности:

которая сходится к для за исключением, может быть, точек. Следовательно диагональная последовательность , которую

мы будем обозначать короче через сходится к во всей плоскости кроме самое большее точек

Мы увидим, что функция имеет не более полюсов и нулей и что обращается в нуль не более раз. В силу теоремы Пикара есть рациональная дробь, отношение многочлена степени к многочлену степени Чтобы доказать, например, что имеет не более полюсов, заметим, что если есть полюс функции и если сходимость в этой точке равномерна, то имеет полюс вблизи для достаточно большого если есть иррегулярная точка, то необходимо имеет полюс вблизи для достаточно большого Итак, для достаточно большого функция имеет самое меньшее столько же полюсов, сколько функция следовательно, имеет не более полюсов. Заменяя через или видим, что и имеют не более или нулей. Такая рациональная дробь определена, когда заданы произвольных однородных и линейных соотношений между ее коэфициентами. Допустим сначала, что ни одна из точек не является иррегулярной точкой; предельная функция удовлетворяет линейным уравнениям, она может быть рациональной дробью, только если данные значения удовлетворяют специальному условию, полученному от приравнивания нулю определителя А из коэфициентов дроби в этих уравнениях. Если это условие не выполнено, то сделанное предположение неприемлемо, и число существует.

Теперь допустим, что точка например, будет иррегулярная; обозначим через наибольшее число полюсов, находящихся вблизи этой точки, для бесконечного множества функций не может быть нулем, иначе точка будет регулярной. Выберем подпоследовательность» которую мы снова будем обозначать такую, что каждая функция последовательности имеет полюсов вблизи и обозначим через многочлен, имеющий эти полюсы нулями и единицу коэфициентом при Последовательность имеет пределом Равенства:

дают в пределе

Если то из этих равенств, положив и заметив, что значения даны, находим, что имеет в точке нуль порядка если также видно, что нуль

функции порядка и значения фиксированы. В обоих случаях будучи дробью, представляется отношением двух полиномов имеющих тот и другой множителем степень Следовательно, уравнения, выражающие, что удовлетворяет данным условиям, снова выполняются. Действительно, если положить то они запишутся:

и заключение будет то же самое.

Итак, во всех случаях существует и зависит только от чисел от данных значений и ее производных и от аффиксов данных точек.

Если значения в точках просто ограничены по модулю, то легко видеть, что достаточно ограничить снизу модуль выражения которое должно быть отлично от нуля. В этом случае зависит от от аффиксов данных точек, от верхнего предела модулей данных значений и от нижнего предела величины