§ 63. Иррегулярные точки. Исключительные последовательности.

Если семейство мероморфных функций не нормально в области, то в этой области существует точка 7, около которой семейство не будет нормально, и точка О, в которой семейство не будет нормально. Для мероморфных функций множество точек и множество точек О совпадают. Доказательство то же самое, что в § 22.

Для иррегулярной точки О существует по определению исключительная последовательность функций семейства такая, что ни одна подпоследовательность не может сходиться равномерно в круге с центром О, как бы мал он ни был. Результатом этого является то, что функции этой последовательности в произвольно малом круге принимают в своей совокупности все значения кроме, быть может, двух. Обратно, это свойство характеризует исключительную последовательность.

Для того чтобы точка была точкой 7, около которой семейство не является нормальным, необходимо и достаточно, чтобы функции семейства принимали внутри произвольно малого круга с центром в все значения кроме, самое большее, двух. Иррегулярные точки характеризуются, такта

образом, распределением значений, принимаемых функциями. Но видна выгода, которую дает понятие точки О, в которой семейство не нормально; это позволяет нам утверждать существование исключительной подпоследовательности, принимающей все значения, кроме, самое большее, двух, в сколь угодно малой окрестности вокруг О. Другими словами, чтобы точка была иррегулярна, необходимо и достаточно существование подпоследовательности функций семейства, принимающих в своей совокупности все значения кроме двух, самое большее, в произвольно малом круге, имеющем центр в этой точке.