§ 89. Распространение на неограниченные функции.

Мы увидим, как можно изменить формулировку теоремы Бляшке, чтобы получить предложение, приложимое к неограниченным функциям, когда ограничен порядок роста модуля этих функций вблизи границы круга Допустим, например, что имеем:

где — положительные постоянные. Гипотеза приводит к ограниченной функции.

Пусть суть нули функции расположенные в порядке возрастающих модулей. Положим:

Докажем следующую лемму:

Если

то ряд сходится для всякого положительного значения В самом деле, рассмотрим вспомогательную функцию:

на окружности модуль каждой дроби знаменателя равен — следовательно, для

а так как голоморфна для то это неравенство верно и для положив и считая получаем;

Это неравенство остается справедливым, каково бы ни было заключенное между нулем и единицей. В самом деле, можно написать:

при неравенство справедливо, если опустить в левой части дроби, большие единицы; следовательно, оно остается справедливым при сохранении этих дробей. Если то неравенство справедливо, если присоединены дроби такие, что меньше единицы: следовательно, оно будет справедливо, если не вводить этих дробей. Итак, каково бы ни было положительное число меньшее единицы, имеем:

Введем в правую часть максимальное значение для

это значение соответствует действительному корню который обращает в нуль логарифмическую производную от корню уравнения:

Тогда, положив что всегда можно получить, разделив в случае надобности на постоянное, будем иметь:

Но

и

Число больше, чем и потому что для имеет неравенство:

Итак,

Исследуем ряд с общим числом уравнение, определяющее

показывает, что

и

начиная с достаточно большого значения Тогда

или

Таким образом ряд сходится, следовательно сходится и ряд

Из этой леммы сейчас же выводим следующую теорему: Если бесконечная последовательность функций:

голоморфных для и удовлетворяющих при любом неравенству

сходится на бесконечном множестве точек для которых ряд

расходится, то эта последовательность внутри круга сходится равномерно.

Можно приложить эту теорему к последовательности функций, имеющих в области два исключительные значения, например нуль и единица. Известно, что в этом случае можно взять Тогда достаточно, чтобы ряд То же самое будет, если функции последовательности принимают только конечное число раз значения нуль и единица. В этом последнем случае Валирон доказал, что достаточно предполагать, что произведение бесконечно возрастает.

Теорема Бляшке неприменима без изменений к функциям, имеющим два выпускаемых значения: покажем это на примере. Неванлинна доказал, что модулярная функция принимает всякое значение, отличное от например, значение в последовательности точек для которой ряд расходится. Последовательность функций, определенных равенством

имеет две различные предельные функции она сходится между тем к во всякой точке