§ 137. Системы из четырех мероморфных функций, никогда не равных.
Теперь распространим на мероморфные функции результаты, полученные в § 133. Пусть даны четыре функции:
мероморфные в круге 
и такие, что уравнения:
не имеют ни одного корня в (С); иными словами, детерминант Вандермонда
не обращается в нуль в 
Мы покажем, что 
имеет вообще верхний предел, зависящий только от двух перзых коэфициентов функции. В некоторых случаях предел может зависеть от других коэфициентов разложения до определенного номера. Единственный случай, где 
не имеет верхнего предела и где, следовательно, четыре мерэморфнье функции могут существовать во всей плоскости без того, чтобы две 
них делались равными, будет тот, когда ангармоническое отношение этих четырех функций будет постоянно. Рассмотрим, в самом деле, функцию
эта функция голоморфна в круге 
где она не принимает ни значения нуль, ни значения единица. Нужно заметить, что две из функций 
не могут иметь один и тот же полюс, иначе они были бы равны в этой точке. Итак, имеем в круге (С):
Известно, что радиус 
не может превзойти предела
в котором буквы имеют то же значение, что в § 133. Имеем:
Легкое вычисление дает:
где
Итак,
положив
Другими словами, можно взять:
Тогда
или вводят обрзначение:
откуда получается теорема: Если даны четыре функции:
то существует число, зависящее только от разностей чисел 
и от разностей чисел 
такое, что внутри круга с центром в начале и радиусом, большим этого числа;
либо одна из функций перестает быть мероморфной, либо по крайней мере две из четырех функций будут в некоторой точке равны.
Если функции 
суть постоянные, отличные от 
то возвращаемся к классической теореме, соответствующей гипотезе 
В случае, когда — нуль, 
тоже нуль; пусть тогда 
первый коэфициент, который отличен от нуля: получаем для 
как в § 133, верхний предел, выражение которого содержит 
первых коэфициентов каждой функции.
Если все коэфициенты 
суть нули, то не будет предела для 
В этом случае 
есть постоянное. Исключительный случай соответствует системе из четырех мезоморфных функций, ангармоническое отношение которых постоянно.
Легко проверить, что в остальных случаях верхний предел 
может быть достигнут для определенных систем из четырех функций.
