§ 142. Наибольшее число исключительных инволюций.

Допустим, что функции суть целью функции и что область содержит всю плоскость. Мы предположим также, что не все эти функции полиномы, т. е. что не алгебраическая функция.

Так как каждой исключительной инволюции соответствует исключительная комбинация для системы то достаточно сослаться на результат § 128, чтобы получить следующее предложение, в котором выражение «различные исключительные инволюции» означает «инволюции, соответствующие различным комбинациям».

Теорема. Число исключительных инволюций целой алгеброидной функции не может превосходить где обозначает число определений этой функции. Не может существовать более различных исключительных инволюций первого типа и более различных исключительных инволюций второго типа.

В частности, может случиться, что некоторые из этих инволюций соответствуют группам все члены которых равны; в этом случае значение а есть исключительное значение в обычном смысле этого слова. Очевидно, что наибольшее число исключительных значений есть где через обозначено число обыкновенных исключительных инволюций.

Если нет обычных инволюций, то наибольшее число исключительных значений есть : нет необходимости предполагать здесь, что инволюции различны, потому что все детерминанты являются детерминантами Вандермонда, отличными от нуля.

Мы вновь получаем таким образом теорему, доказанную Ремундосом Но видно в то же время, что нет различия между

исключительными значениями и исключительными инволюциями. Для всех алгеброидов одного и того же класса число различных исключительных инволюций одно и то же.

Если некоторые инволюции соответствуют исключительным значениям в собственном смысле слова некоторого алгеброида, то эти значения вообще не будут больше исключительными для другого алгеброида этого класса и уступают место обыкновенной исключительной инволюции.

Наибольшее число может достигаться, что видно из уравнения:

в котором полиномы степени которых все корни различны и нет ни одного общего корня. В этом частном случае все алгеброиды класса, определенного предыдущим алгеброидом, имеют исключительных значений.