§ 5. Кривые Жордана. Достижимые точки границы.

Кривой Жордана называется множество точек, координаты которых выражаются функциями действительного параметра:

определенными и непрерывными в замкнутом интервале, например в интервале

Кривая Жордана будет без двойных точек, если два различные значения дают всегда две различные точки кроме, быть может, значений О и 1. Она замкнута или незамкнута в зависимости от того, что значения в концах интервала дают одну и ту же точку или различные.

Точки кривой Жордана образуют совершенное множество.

Для незамкнутой кривой Жордана без двойных точек можно найти ломаную без двойных точек, имеющую те же самые концы, все точки которой находятся на сколь угодно малом расстоянии от кривой.

Граничная точка области достижима изнутри, если можно найти кривую Жордана, выходящую из некоторой внутренней точки О, оканчивающуюся в точке все точки которой кроме А суть внутренние точки области точка А есть единственная предельная для них точка, расположенная на границе.

Множество достижимых точек есть множество, плотное на границе связной области, т. е. всякая неизолированная граничная точка является предельной точкой для множества достижимых точек. Пусть А — неизолированная граничная точка и — граничные точки, которые стремятся к А. На окружности , имеющей центр в точке А и проходящей через найдется внутренняя точка иначе окружность разбивает область, которая не будет связной. Следуя по окружности из точки в каком-нибудь направлении, мы встретим первую граничную точку, потому что множество точек, общих окружности и границе, есть множество замкнутое. Эта точка достижима по дуге окружности, и последовательность точек стремится к точке А.

Ко достижимой точке А можно подойти по ломаной линии, расположенной внутри и имеющей бесконечное множество звеньев вблизи А. В самом деле, пусть кривая Жордана, расположенная внутри области и оканчивающаяся в точке которая соответствует верхнему пределу единица для параметра.

Возьмем последовательность чисел: которые, возрастая, стремятся к единице; пусть кратчайшее расстояние между границей и дугой линии дугу можно заменить ломаной линией, имеющей те же концы и везде отстоящей от дуги на расстояние, меньшее это — линия внутри

Все эти ломаные составляют одну, расположенную внутри и примыкающую к точке Легко видеть, что возможно изменить эту

ломаную так, чтобы уничтожить все двойные точки, которые она может содержать.

Вот несколько примеров односвязных областей.

Наиболее простым типом границы после замкнутой кривой, без двойных точек, аналитической или состоящей из аналитических дуг, является замкнутая кривая Жордана без двойных точек.

Жордан доказал, что такая кривая разбивает плоскость на две односвязчые области, а А. Шёнфлис (A. Schoenflies), - что всякая ее точка является достижимой изнутри и извне. Рассмотрим теперь кривую (фиг. 1):

Она содержит бесконечное множество дуг, сжимающихся к отрезку оси у. Соединим точку А с точкой С линии кривой Жордана , расположенной под прямой Кривая отрезок и часть линии точки которой имеют абсциссы, меньшие абсциссы точки С, служат границей односвязной области.

Фиг. 1.

Фиг. 2.

Кривая не есть кривая Жордана, потому что, пересекая ее прямой, параллельной оси мы получим точки, имеющие предельной любую точку отрезка Точки отрезка кроме точки А не достижимы изнутри. Если вместо взять кривую примыкающую к точке В, то эти точки будут достижимы изнутри, но не будут достижимыми снаружи.

Если граница не является кривой Жордана, то она может разбивать плоскость больше, чем на две части. Например область заштрихованная на фиг. 2, заключена между двумя спиралями, имеющими одну и ту же асимптотическую окружность Граница состоит из этих двух ветвей и из окружности; она разбивает плоскость на три односвязные области: область другая область, образованная точками внутренними окружности и внешность окружности

Взяв несколько окружностей, можно получить разбиение плоскости на какое угодно число областей. Существуют даже границы, разбивающие плоскость на счетное множество областей.

Пусть дан квадрат, в котором проведены отрезки параллельные и выходящие из точек стороны (фиг. 3). Множество точек, внутренних квадрату и не принадлежащих проведенным отрезкам, есть односвязная область, граница которой состоит из сторон квадрата и этих отрезков. Граничная точка достижима двумя различными способами, и два пути образуют замкнутую линию, содержащую внутри часть границы.

Фиг. 3.

Фиг. 4.

Мы будем рассматривать отрезок как разрез, имеющий два края, и мы будем говорить, что в точке находятся две различные граничные точки Точки, близкие расположенные по разные стороны от разреза, не являются бесконечно близкими внутренними точками.

Пусть а есть середина стороны квадрата, длина которой равна единице (фиг. 4). Сделаем разрезы длины которых соответственно будут:

и образуют со стороной углы:

тогда точка достижима бесконечно многими способами.

Фиг. 5.

Применение бесконечного множества разрезов дает наиболее простой способ построения границ с недостижимыми точками. Мы даем три примера (фиг. 5); построение ясно из фигуры; вертикальные разрезы находятся на расстоянии от стороны