§ 58. Простые концы.

Предыдущая теорема дает способ решить, соответствует ли двум точкам границы одна и та же точка окружности или нет: достаточно рассмотреть, будут ли две правильные последовательности, стремящиеся соответственно к этим точкам, эквивалентными или нет. Но можно задаться целью определить множество точек, которое соответствует одной и той же точке окружности Мы получим их как предельные точки последовательности областей, определенных в трансверсалями и построенных таким образом, что все соответствующие им области содержат окрестность точки

Пусть точка границы области определенная правильной последовательностью (5), и пусть соответствующая последовательность, стремящаяся к точке . Если О — определенная внутренняя точка, то существует последовательность трансверсалей удовлетворяющая следующим условиям:

1) две трансверсали не имеют общих концов;

2) фиксируя произвольно на каждой трансверсали точку получаем правильную последовательность, эквивалентную

3) область определенная трансверсалью и не содержащая точки О, содержит бесконечное множество точек из

Чтобы доказать существование последовательности (2), возьмем на окружности последовательность точек: соответствующих достижимым точкам и стремящихся к с одной стороны; затем последовательность соответствующих достижимым точкам и стремящихся к с другой стороны; достаточно взять за линии, гомологичные кривым, близким хордам

Пусть (2) — какая-нибудь последовательность трансверсалей, обладающая указанными свойствами; среди линий, соответствующих трансверсалям только одна может оканчиваться в пропустим ее. Область содержащая бесконечное множество точек из должна иметь граничной точкой: так как не оканчивается в то область содержит внутреннюю к часть окрестности Следовательно, если дается какая-нибудь последовательность (5), эквивалентная (5), то все ее точки, начиная с некоторого номера, будут в итак, всякая точка границы, соответствующая есть предел точек областей Кроме того, в силу второго свойства точки трансверсалей следовательно, области имеют единственную предельную точку итак, обратно, всякая предельная точка для точек областей есть точка границы, соответствующая

Обозначим через множество точек предельных для областей это множество Каратеодори назвал простым концом (Primende); он содержит все точки границы, соответствующие и содержит только эти точки. В случае фиг. 17 простой конец содержит все точки отрезка

рассматриваемые как получаемые приближением к ним справа, и его можно определить помощью трансверсалей

Из предыдущего рассуждения вытекает, что простой конец определен, когда дана одна из его точек.

Чтобы завершить изучение непрерывности отображения контуров, рассмотрим следующий вопрос:

Дана последовательность точек границы: стремящаяся к точке границы; при каких условиях можно утверждать, что соответствующие им при конформном отображении точки: стремятся к гомологичной

Вопрос решен, если точки последовательности суть достижимые точки: необходимо и достаточно, чтобы последовательность была правильная последовательность для Теперь возьмем общий случай.

Заметим, что мы можем каждую из точек заменить какой-нибудь другой точкой, принадлежащей тому же самому концу, потому что точка не изменится; так каждый конец представляется как неделимое целое. Если дан конец и точка О внутри то можно найти линию внутри не имеющую других предельных точек границы кроме точек конца Такой будет, например, кривая в соответствующая прямолинейному отрезку проведенному в круге. Кривая являющаяся соединением двух таких линий, не имеющих ни одной общей точки кроме их начала и оканчивающихся в двух различных концах и (6), не всегда будет трансверсалью но она разделяет на две области, потому что соответствует трансверсали круга Всякая точка границы, не принадлежащая ни ни есть точка границы одной из двух областей. Концы и делят, следовательно, границу на две части, и это деление, которое можно определить, не производя конформного отображения, не зависит от пути, идущего внутри из в Итак, мы можем определить правильную последовательность простых концов и также правильную последовательность, содержащую простые концы, достижимые точки и внутренние точки. Все предыдущие заключения остаются справедливыми.

Чтобы точки соответствующие точкам имели предельной точкой соответствующую точке предельной для необходимо и достаточно, чтобы простые концы относящиеся к образовывали правильную последовательность. Мы видим, что простые концы имеют пределом простой конец относящийся к точке