ГЛАВА VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 85. Природа сходимости нормальной или квази-нормальной последовательности.
Мы ставим себе целью отыскивать все более и более широкие условия, позволяющие утверждать, что бесконечная последовательность функций, голоморфных в некоторой области, сходится в этой области равномерно. Вот прежде всего общее предложение:
Всякая сходящаяся последовательность голоморфных функций, принадлежащих нормальному или квази-нормальному семейству, сходится равномерно.
Другими словами, если последовательность голоморфных функций, принадлежащих семейству, нормальному или квази-нормальному в области 
имеет в каждой точке из 
конечный предел, то сходимость последовательности равномерна внутри 
следовательно, предельная функция 
необходимо голоморфна. Действительно, если сходимость не равномерна, то существуют область 
внутри 
число 
и бесконечная последовательность точек 
из 
такие, что точке 
соответствует в последовательности функция 
для которой
Мы можем из последовательности 
выбрать другую последовательность 
сходящуюся равномерно в некоторой области 
содержащей 
и содержащейся в 
за исключением, быть може 
конечного числа иррегулярных точек. Предел не может быть тождественной бесконечностью, потому что функции последовательности имеют конечный предел в каждой точке из 
следовательно, она не может иметь иррегулярных точек в 
и сходится равномерно к голоморфной функции, которая необходимо совпадает с 
Следовательно, для достаточно большого 
имеем:
каково бы ни было 
в 
а это противоречит предположению относительно точки 
Итак, сходимость равномерна.
