§ 10. Функции, ограниченные в своей совокупности
Для семейства голоморфных ограниченных функций существует теорема, соответствующая доказанной нами для множеств. Мы говорим, что функции 
голоморфные в области 
ограничены в своей совокупности 
в этой области, если имеем:
где 
фиксированное число, одно и то же для любой функции 
и для любого 
внутри 
Пусть дано семейство функций, голоморфных и ограниченных в своей совокупности в некоторой области; изо всякой бесконечной последовательности этого семейства можно выбрать подпоследовательность, которая во всякой области внутри 
сходится равномерно к предельной функции.
Фиг. 6.
В силу теоремы Вейерщтрасса предельная функция есть функция голоморфная в 
Сначала докажем, что для всякой области, внутренней к 
мы можем определить свою подпоследовательность (это, очевидно, еще не равносильно утверждению теоремы). Предварительно буцет полезно доказать следующее предложение.
