§ 44. Теорема Жюлиа.

Жюлиа внес замечательное дополнение к теореме Пикара.

Мы видели невозможность для семейства быть нормальным семейством в кольце Следовательно, в этом кольце существует не менее одной точки где семейство не нормально. Пусть луч, проведенный из начала О в точку Опишем вокруг точки фиксированный круг произвольно малого радиуса; семейство не будет нормальным в этом круге, и, следовательно, бесконечное множество функций семейства принимает какое-нибудь заданное значение а, кроме, быть может, одного исключительного значения. Рассмотрим круги подобные относительно начала; функция принимает значение а в бесконечном множестве этих кругов. А все эти круги заключены в произвольно малом угле, имеющем биссектрисой.

Так мы получаем теорему Жюлиа.

Существует не менее одного луча У, выходящего из О, такого, что в произвольно малом угле, имеющем биссектрисой функция принимает все значения, кроме, быть может, одного.

Можно получить результат более точный. Я утверждаю, что существует бесконечная последовательность кругов выбранных из последовательности и обладающих следующим свойством: каково бы ни было число а, за исключением, быть может, одного исключительного значения, функция принимает значение а во всех кругах последовательности, начиная с некоторого номера. Этот номер может изменяться вместе с а

В самом деле, предположим, что невозможно найти такую последовательность. Пусть тогда будет некоторая последовательность, выбранная из семейства Если, каково бы ни было число а, существует только конечное число функций не принимающих значения а в то последовательность отвечает высказанному. В противном случае существует хотя бы одно число а, которое будет исключительным для бесконечного множества функций последовательности Пусть будут эти функции. Существует также второе значение которое является исключительным для бесконечного множества функций последовательности в противном случае последовательность кругов отвечает на вопрос. будут эти новые функции. Они не принимают в круге ни значения а, ни значения следовательно, они образуют нормальное семейство и из них можно извлечь равномерно сходящуюся последовательность Эта последовательность извлечена из последовательности которая по предположению является произвольной последовательностью из семейства Следовательцр, это семейство нормально в что противоречит условию.

Каждому обобщению теоремы Пикара отвечает соответствующее обобщение теоремы Жюлиа.

В самом деле, мы доказали, что семейство не может быть нормальным в круге следовательно, всякий признак,

позволяющий утверждать, что такое семейство ненормально в приводит к новому предложению. Мы можем повторить для множества кругов что мы говорили окрестности точки

Во всем предшествующем семейство можно заменить семейством следовательно, получать из помощью преобразования подобия в отношении и поворота на угол Можно также предположить, что точки расположены на кривой определенной выше; в этом случае прямая заменяется кривой полученной из подобным преобразованием и поворотом, который приводит точку 1 в совпадение с точкой