СЕМЕЙСТВА УНИФОРМИЗИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ

§ 124. Теорема Пикара.

Рассмотрим алгебраическое соотношение:

жанра и пусть — обыкновенная точка? соответствующей поверхности Римана. Допустим, что соотношение разрешено помощью двух функций:

мероморфных в круге Имеем:

Мы говорим, что две функции униформизируют соотношение в круге или еще, что они образуют униформизирующую пару в круге

Пикар доказал для пар униформизации основное предложение, относящееся к случаю, когда жанр больше единицы: тогда существует число зависящее только от такое, что внутри всякого круга радиуса, большего по крайней мере одна из двух функций перестает быть мероморфной.

Напомним кратко доказательство. Когда жанр больше единицы, можно выразить х и у как мероморфные функции параметра и, модуль которого не превосходит единицы. Между точками области, ограниченной дугами окружности и содержащейся полностью в круге и точками поверхности Римана, определенной алгебраическим соотношением, существует взаимно однозначное соответствие. Функция и голоморфна в каждой точке поверхности Римана, и различные ее определения получаются одно из другого линейным преобразованием.

Если в функции и заменим х и у через функции то получим функцию

голоморфную в каждой точке круга Эта функция, следовательно голоморфна в этом круге, и ее модуль остается меньше единицы. Семейство функций и есть нормальное семейство в круге Если фиксировать значение а то тем самым будет фиксировано и значение

соответствующие функции и образуют семейство, нормальное и ограниченное. Если фиксировать значение предполагаемое отличным от нуля, то имеем:

Отсюда получаем классическими рассуждениями, что радиус не может превосходить предела где и есть положительное число, зависящее только от

Можно также заметить, что так как функции и образуют нормальное семейство, то то же самое имеет место для функций:

которые образуют систему мероморфных функций. Если фиксировать и

то из нормальности семейства соответствующих функций будет следовать, что радиус ограничен пределом в форме

Можно функции подчинить другим условиям: например, допустим, что эти функции заставляют соответствовать двум фиксированным значениям две различные точки поверхности Римана. Допустим, что это обыкновенные точки. Функция и прцнимает для два различных значения и так как семейство и есть нормальное семейство в то получаем, что имеет верхний предел, зависящий только

Если коэфициенты функций произвольны, то пары, униформизирующие в круге, образуют всегда два нормальных семейства мероморфных функций. Отсюда можно вывести, как показал Пикар, что теорема Витали приложима к этим семействам: сходимость бесконечной последовательности систем в бесконечном множестве точек, имеющих не менее одной предельной точки внутри влечет равномерную сходимость этой последовательности везде внутри Можно такжераспространить на это семейство пар теорему Бляшке, относящуюся к случаю, когда предельные точки для точек сходимости все находятся на окружности Достаточно заметить, что соответствующая последовательность голоморфных и ограниченных функций сходится равномерно в этям круге; т. е. в замкнутой области, образованной каким-нибудь внутренним концентрическим кругом.

Предыдущий результат существенно предполагает, что жанр алгебраического соотношения больше единицы. Когда жанр равен единице, х и у могут быть представлены функциями параметра и, мероморфными во всякой точке на конечном расстоянии: х и у суть двояко-периодические функции и. Когда жанр равен нулю, х и у могут быть изображены функциями мероморфными во всей полной комплексной плоскости, т. е. рациональными дробями.

Мы увидим сейчас, что если мы хотим получить результаты, соответствующие теоремам, доказанным для жанра большего единицы, то необходимо ввести пары исключительных значений для пар униформизирующих функций.