§ 123. Структура множества (F).

Рассмотрим предыдущее доказательство: оно содержит две независимых части. В первой, допустив, что О есть изолированная точка множества выводится, что существует последовательность, сходящаяся вне точки О равномерно к бесконечности. Во второй части из существования последовательности, сходящейся равномерно к бесконечности на поверхности, определенной кругами и выводится, что каждой точке круга соответствует по крайней мере одна точка из такая, что точка принадлежит

Таким образом здесь используется лишь часть заключения, полученного в первой части, и результат справедлив всякий раз, когда имеем последовательность, равномерно сходящуюся к бесконечности на поверхности

Вот важный пример: предположим, что в плоскости тока будет единственной точкой, принадлежащей Семейство тогда нормально во всех точках ( таких, что будет находиться на произвольно малой окружности Для каждой из этих точек семейство нормально в выбранном надлежащим образом пер цилиндре:

в силу теоремы Вореля-Лебега можно покрыть окружность конечный числом кругов:

Пусть -наименьшее из чисел во всех точках гиперповерхности

семейство нормально. Отсюда выводим, как в предыдущем, что начало не может принадлежать множеству если не существует бесконечной последовательности, сходящейся на указанной гиперповерхности равномерно к бесконечности. Следовательно:

Если семейство голоморфных функций двух переменных нормально во всех точках близких к началу, и ненормально в начале, то, как бы ни было мало можно отнести ему число такое, что точке выбранной произвольно в круге соответствует не менее одной точки находящейся в круге такой, что семейство в точке не будет нормально.

Этот результат позволяет нам доказать следующую теорему:

Множество не можеп содержать совершенного множества, удаленного от границы области на конечное расстояние.

Если такое изолированное множество существует, то для данной точки А в пространстве четырех измерений расстояние от А до точки этого множества достигает конечного максимума в точке О множества расположенной внутри Мы докажем, что это невозможно и, больше того, что не может проходить через относительный максимум.

Допустим, что такой максимум существует: примем точку О за начало координат с осью проходящей через точку А, координаты которой будут . В окрестности точки О всякая точка из множества будет на расстоянии от точки которое меньше или равно Пусть — точка плоскости ее расстояние от точки А определяется равенством

Следовательно, если отлично от О. Плоскость не содержит в окрестности О точки из которая отлична от О. В силу предыдущей теоремы, каково бы ни было число близкое к нулю, существует число такое, что точка принадлежит но

и больше если а отрицательно и не принадлежит множеству Это противоречие доказывает теорему.

Итак, есть множество совершенное, непрерывное и связное с границей области

Оно обладает теми же самыми свойствами, что соответствующее множество точек, где семейство голоморфных функций одного переменного не нормально, когда значения этих функций ограничены в каждой точке. Для функций многих переменных последнее Ограничивающее условие исчезает.

Я отсылаю к мемуарам Жюлиа для обобщений и приложений, которые можно получить из изложенных результатов.