§ 131. Определение сложного нормального семейства.

Рассмотрим семейство, содержащее бесконечное множество систем из функций голоморфных в Говорят, что семейство систем нормально в области когда семейство функций которые соответствуют какому-нибудь фиксированному индексу нормально в этой области. Мы будем говорить также, что это нормальное семейство систем есть сложное нормальное семейство в области.

Пусть есть система, полученная из помощью обратимой линейной подстановки с постоянными коэфициентами: семейству систем соответствует также семейство систем Когда системы принадлежат одному и тому же классу, то говорят, что семейства систем суть семейства систем, принадлежащих к тому же самому классу; эти семейства, очевидно, одновременно нормальны, когда функции одного из этих семейств ограничены. Но это не будет так, если некоторые из функций неограниченно возрастают. Возьмем, например, систему двух функций

когда принимает все целые положительные значения, мы имеем семейство систем, которое нормально для потому что каждая из последовательностей функций или бесконечно возрастает. Если мы образуем комбинацию

то семейство функций не будет нормальным для потому что стремится к нулю для и бесконечно возрастает для

Если понятие сложного нормального семейства превращается в обычное понятие нормального семейства. В этом частном случае всякое семейство функций которые допускают в области две различные исключительные комбинации, т. е. просто исключительные значения, есть семейство нормальное.

Когда больше единицы, существование какого-нибудь числа или даже бесконечного множества исключительных комбинаций не позволяет всегда заключить, что семейство систем есть семейство нормальное. Это достаточно показать на примере.

Возьмем и сложное семейство, определенное функциями:

в области для всех целых и положительных значений Это семейство не будет нормальным в рассматриваемой области. Между тем существует бесконечное множество исключительных комбинаций в форме:

В самом деле, найдем корни уравнения

полагая

Имеем:

Но мы можем высказать теорему, позволяющую утверждать, что сложное семейство нормально, если существует исключительных комбинаций специального типа.