§ 60. Теорема Фейера (Fejer).

Пусть функция, которая отображает круг на область Ряд Маклорена для функции имеет радиус сходимости не меньше единицы. Вообще круг сходимости есть сам круг который является естественной границей для функции потому что какой-нибудь дуге границы круга не соответствует вообще аналитическая дуга границы области Когда область ограничена кривой Жордана, ряд обладает замечательным свойством, доказанным Фейером 1).

Он сходится равномерно во всем круге включая грдницу. Для доказательства напомним сначала некоторые результаты, относящиеся к рядам. Пусть дан ряд:

положим

если ряд сходится, то стремятся к одному и тому же пределу. Но может случиться, что имеет предел, не имеет; тогда говорят, что ряд суммируется процессом средних арифметических. При этом за сумму ряда принимают предельное значение Например, известно, что ряд Фурье от непрерывной функции не всегда сходится, но Фейер показал, что он равномерно суммируется процессом средних арифметических и что его сумма представляет эту функцию.

Докажем теперь лемму:

Если ряд суммируется процессом средних арифметических и если ряд сходится, то ряд также сходится.

Одного первого условия недостаточно, чтобы утверждать сходимость; одного второго тоже: например, ряд расходится в то время как ряд сходится

По предположению

стремится к пределу; следовательно, достаточно доказать, что

стремится к нулю, когда бесконечно возрастает. Рассмотрим выражение

в силу неравенства Шварца это выражение меньше корня квадратного из

Первый множитель меньше

и можно выбрать настолько большое что второй множитель будет меньше каково бы ни былор, так как ряд сходится. Тогда рассматриваемое выражение будет меньше, чем

Положив переписываем:

Мы можем выбрать число настолько большим, чтобы последний член был меньше каково бы ни было затем, оставляя неизменным, выбираем настолько большим, чтобы первый член был меньше 8, тогда будем иметь:

и лемма доказана,

Пусть теперь

есть функция, отображающая область ограниченную кривой Жордана на круг радиуса единица, и пусть

суть выражения координат точки границы которая соответствует точке окружности Функции непрерывны. Докажем, что ряд (1) суммируем процессом средних арифметических, если на окружности имеем:

причем

где интеграция выполняется по окружности потому что непрерывна во всем замкнутом круге. Заменим через через получим:

С другой стороны,

или, заменяя на

откуда, складывая и вычитая, получим:

Следовательно, член ряда (2) имеет действительную часть, равную

и коэфициент при

таким образом ряд (2) есть ряд Фурье от непрерывной функции ; в силу теоремы Фейера он суммируем процессом средних арифметических.

Рассмотрим теперь интеграл:

распространенный на круг с центром вой радиусом меньшим единицы; он представляет площадь области которая соответствует этому кругу; эта площадь меньше площади квадрата, содержащего внутри; следовательно, он ограничен, каково бы ни было Обозначая через мнимое сопряженное имеем:

Эти два ряда абсолютно и равномерно сходятся в их произведение содержит прежде всего члены:

затем члены вида:

которые исчезают при интегрировании. Не исчезающие члены приводят к интегралу:

Сумма этого ряда с положительными членами, сходящегося для остается меньше когда стремится к единице. Пусть

эта сумма, меньшая, чем имеет пределом:

когда стремится к единице. Следовательно, тоже меньше каково бы ни было и ряд, общий член которого есть сходится.

Итак, оба условия леммы выполнены; следовательно, ряд (2) сходится и притом равномерно, каково бы ни было 0. Ряд (1) сходится равномерно в замкнутой области в силу теоремы Вейерштрасса.

Из теоремы Фейера выводим следующий результат: Координаты точки замкнутой простой кривой дана можно представить равномерно сходящимся рядом Фурье, при надлежащем выборе параметра.

В самом деле, достаточно сделать конформное отображение круга на область ограниченную этой кривой, и взять за параметр угол .

Интересно знать с точностью все свойства функции вытекающие из дополнительных предположений сделанных о кривой Жордана: например, из предположения, что она имеет касательную в каждой своей точке 1).