§ 2. Производное множество.

Множество всех предельных точек множества называется множеством производным для множества и обозначается Множество которое содержит все свои предельные точки, есть множество замкнутое, например, всякое производное множество есть множество замкнутое. Если замкнутое множество не содержит изолированных точек, то все его точки принадлежат производному множеству: это есть множество совершенное. Совершенное множество тождественно со своим производным.

Точки, общие двум замкнутым множествам, образуют множество замкнутое.

Если два замкнутых множества не имеют ни одной общей точки, то расстояние точки первого множества до точки второго множества имеет минимум, отличный от нуля, и этот минимум достигается не менее чем для одной пары точек. В самом деле, пусть 8 есть нижняя граница множества расстояний точек из первого замкнутого множества до точек второго замкнутого множества число 8 конечно, если ни одно из этих двух множеств не сводится к одной бесконечно удаленной точке. Пусть

есть бесконечная последовательность пар точек принадлежащих соответственно множествам и и таких, что расстояние имеет предел, равный 8. Бесконечная последовательность:

имеет не менее одной предельной точки если какая-нибудь точка встречается в последовательности бесконечно много раз, то ее можно считать предельной точкой Пусть

есть подпоследовательность, имеющая предельной точкой единственную точку

Бесконечная последовательность:

имеет хотя бы одну предельную точку пусть

есть подпоследовательность, имеющая точку единственной предельной точкой. Одна из точек или находится в конечной части, потому что принадлежит множеству принадлежит к а эти множества не имеют общих точек. Так как расстояние предел расстояний равно 8, то обе эти точки находятся в конечной части, они различны и теорема доказана.

Число отличный от нуля минимум расстояний между точками двух множеств, называется расстоянием между двумя замкнутыми множествами.

Так же определяется расстояние точки до замкнутого множества, которое не содержит этой точки; понятия: расстояние точки до кривой или до поверхности, расстояние между двумя кривыми или поверхностями без общих точек суть частные случаи предыдущего.

Вот несколько примеров различных типов множеств, о которых шла речь. Множество точек плоскости, у которых обе координаты рациональны, есть множество незамкнутое, потому что производное множество содержит все точки плоскости; это множество не имеет изолированных точек. То же самое справедливо для множества точек, одна из координат которых рациональна.

Множество точек где обозначает целое положительное или отрицательное число, будет множество замкнутое, если к нему присоединить начало, которое есть единственная предельная точка.

Множество точек квадрата или круга есть множество совершенное, если оно содержит точки периферии.