§ 88. Распространение на функции N.

Теорема Бляшке распространяется на неограниченные функции, являющиеся в круге отношением двух ограниченных функций, из которых обе можно считать по модулю меньше единицы. В самом деле, если две такие функции равны в точках , то они совпадают, ибо их разность есть также отношение двух ограниченных функций и числитель, будучи ограниченной функцией,

обращающейся в нуль в точках для которых произведение расходится, тождественно равен нулю.

Следовательно, всякая последовательность функций этой природы» принадлежащая нормальному семейству и сходящаяся в точках сходится внутри равномерно. В рассуждениях § 86 не придется ничего изменять.

В частности, достаточно предположить, как было сделано в § 25, что интеграл:

остается ограниченным, каково бы ни было меньшее единицы, и какова бы ни была функция последовательности. Как показали и Неванлинна, теорема Бляшке приложима.

Теорема Бляшке приложима еще к функциям, которые не являются ограниченными, но не принимают значений, изображающихся точками, заключенными в некоторой области комплексной плоскости. Если а — аффикс внутренней точки этой области, то функции:

ограничены и сходимость выводится из сходимости Но она перестает быть точной для последовательности функций, которые в своей совокупности принимают всякое значение, ибо можно всегда построить функцию не ограниченную в круге и обращающуюся в нуль в последовательности точек для которых ряд расходится.

Теорема приложима также к последовательности функций которые не принимают значений некоторого линейного континуума. Действительно, Фату (Fatou) доказал, что можно всегда найти две точки этого континуума такие, что аргумент — остается ограниченным. Следовательно, функции ограничены по модулю и теорема Бляшке верна для последовательности следовательно, также для последовательности

Но, как мы скоро увидим, теорема неверна для функций, имеющих только два Исключительных значения.