§ 104. Ограниченность числа притягивающих циклов.

В области непосредственного притяжения циклом необходимо находится критическая точка алгебраической функции обратной для В самом деле, допустим, что это не так: проведем небольшой круг с центром в С и расположенный внутри (Д); рассмотрим ветвь функции определенную начальным условием:

где порядок цикла; точки остаются в области притяжения потому что связная область, которая соответствует содержит точку внутреннюю для и все последующие для сходятся равномерно к так как их непосредственно последующие находятся в Определим также:

условием Все функции

однозначны и мероморфны в Кроме того, они никогда не принимают значения никакой другой неподвижной точки ибо если бы имели то вывели бы отсюда, что точка которая также является неподвижной точкой, находится в (у); но последующая для точки внутренней совпадает с исходной точкой, только для точки Так как существуют циклы сколь угодно высокого порядка, то существует таким образом более трех значений, которые никогда не принимаются функциями последовательности. Следовательно, они образуют семейство нормальное в Но это невозможно, потому что точка есть точка притяжения для с множителем и будет точкой отталкивания для с множителем Это неподвижная точка для подстановки Мы видели выше, что

Следовательно, последовательность производных бесконечно возрастает. Последовательность не может быть нормальна в потому что предел есть а предел бесконечность.

Итак, в области непосредственного притяжения циклом находится точка критическая для Число этих точек ограничено, ибо эти точки суть значения соответствующие нулям функции число которых не превосходит

Области притяжения различными циклами, очевидно, различна, следовательно, число циклов притяжения не превосходит числа точек критических для Итак:

Число неподвижных точек притяжения ограничено.