ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 97. Природа сходимости нормально или квази-нормальной последовательности.
Мы видели, что последовательность голоморфных функций, принадлежащих семейству нормальному или квази-нормальному в области, не может сходиться в этой области неравномерно, и что сходимости этой последовательности в бесконечном множестве точек, взятом полностью внутри области, достаточно, чтобы утверждать сходимость внутри этой области.
Докажем аналогичное предложение для мероморфных функций:
Бесконечная последовательность мероморфных функций:
принадлежащих семейству, нормальному в области 
сходящаяся в каждой точке области, сходится равномерно во всякой области, внутренней для 
Пусть 
область, внутренняя для 
Если сходимость неравномерна в 
то существует точка 
из 
в окрестности которой сходимость неравномерна. Обозначим через 
функцию, предельную для последовательности: можно предполагать, что 
не является полюсом 
потому что можно последовательность 
заменить последовательностью 
эти две последовательности будут одновременно равномерно сходящимися.
Так как в окрестности точки 
сходимость неравномерна, то существует число 8 такое, что в круге радиуса и с центром 
найдутся точки 
и найдется функция 
последовательности, для которых
Так как семейство функций 
нормально в 
то можно выбрать из последовательности 
новую последовательность 
которая сходится равномерно в области 
взятой внутри 
и содержащей 
Следовательно, если 
достаточно велико, то во всякой точке из 
будем иметь:
я это противоречит предположению, что 
точек 
имеем;
Итак, сходимость равномерна в 
Теорема не приложима к семействам квази-нормальным. Например, последовательность
сходится во всякой точке плоскости, но сходимость не будет равномерной в окрестности иррегулярной точки 
